Sesi 6.indd

X
matematika PEMINATAN
SIFAT-SIFAT EKSPONEN
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami definisi eksponen.
2.
Memahami sifat-sifat bentuk pangkat.
3.
Memahami sifat-sifat bentuk akar.
4.
Menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat dan akar dalam pemecahan masalah.
A.
DEFINISI EKSPONEN
Eksponen atau bilangan berpangkat dinotasikan dengan am (dibaca a pangkat m), dengan
a, m∈R, a > 0, dan a ≠ 1. Pada notasi eksponen, a disebut basis atau bilangan pokok,
sedangkan m disebut pangkat atau eksponen. Jika m adalah bilangan bulat positif, maka
definisi dari eksponen dapat dinyatakan sebagai berikut.
am = a×
a
×
a ×
... ×a
sebanyak m bilangan
B.
SIFAT-SIFAT BENTUK PANGKAT
Jika a dan b bilangan real, serta m dan n bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat
berikut.
1.
am × an = am + n
1
Kela
s
K13
2.
am
= am −n , dengan a ≠ 0 dan m > n an
3.
(am)n = am × n
4.
(a × b)m = am × bm
5.
am
a
=
, dengan b ≠ 0 b
bm
 
6.
a0 = 1, dengan a ≠ 0
7.
a− m =
8.
a n = n am , dengan n ≥ 2 m
1
, dengan a ≠ 0 am
m
Contoh Soal 1
Tentukan hasil dari operasi eksponen berikut!
a.
32 × 3
b.
24
22
c.
(52)3
d.
23 × 33
e.
102
22
f.
4–3
g.
 2−3 × 3 

3 

2
×
3


−1
h.
2
83
Pembahasan:
a.
Dengan menggunakan sifat am × an = am + n, diperoleh:
32 × 31 = 32 + 1
= 33
= 27
Jadi, 3 × 3 = 27.
2
2
b.
Dengan menggunakan sifat
am
= am −n , diperoleh:
dengan a ≠ 0 dan m > n
an
24
= 24 −2
22
= 22
=4
Jadi,
c.
24
= 4.
22
Dengan menggunakan sifat (am)n = am × n, diperoleh:
(5 )
2
3
= 52× 3
= 56
= 15.625
Jadi, (52)3 = 15.625.
d.
Dengan menggunakan sifat am × bm = (a × b)m, diperoleh:
23 × 33= (2 × 3)3
= 63
= 216
Jadi, 23 × 33 = 216.
e.
m
a
am
Dengan menggunakan sifat   = m ,, diperoleh:
dengan b ≠ 0
b
b
102  10 
= 
22  2 
2
= 52
= 25
Jadi,
f.
102
= 25.
22
−m
Dengan menggunakan sifat a =
1
43
1
=
64
1
a≠0
, dengan
diperoleh:
am
4 −3 =
Jadi, 4 −3 =
1
.
64
3
g.
Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh:
−1
 2−3 × 3 
23 × 3−1
=


3 
2−1 × 3−3
 2×3 
23 × 2 × 33
3
4 2
=2 3
= 144
=
−1
 2−3 × 3 
4 2
Jadi, 
3 
 = 2 3 = 144.
2
3
×


h.
m
Dengan menggunakan sifat a n = n am , dengan
diperoleh:
n≥2
2
8 3 = 3 82
= 3 64
=4
2
Jadi 8 3 = 43 82
= 3 64
Contoh Soal
=4 2
Sederhanakan operasi bentuk pangkat berikut!
a.
(4 x
b.
 64 a−7 b −6 

  27 a−8 b −2 


−3 2
y
)(2 x
2 −1
y
)
−1
Pembahasan:
a.
Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh:
(4 x
−3 2
y
)(2 x
2 −1
y
)= 4⋅x
−3
⋅ y 2 ⋅ 2 ⋅ x 2 ⋅ y −1
= 4 ⋅ 2 ⋅ x −3 ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ y −1
= 8 ⋅ x -3+2 ⋅ y 2 −1
(
)(
= 8 x −1y
8y
=
x
)
Jadi, 4 x −3 y 2 2 x 2 y −1 =
8y
.
x
4
b.
Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk pangkat, diperoleh:
−1
 64 a−7 b −6 
 26 a−7 b −6 

 =

 27 a−8 b −2 
 27 a−8 b −2 




(
= 2−1ab −4
)
−1
−1
= 2a−1b 4
=
2b 4
a
−1
 64 a−7 b −6 
2b 4
 =
Jadi, 
.
 27 a−8 b −2 
a


Contoh Soal 3
Bentuk sederhana dari
Pembahasan:
( b − a )10 ( a + b )−7
( a − b )9 ( b + a )−8
adalah ....
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat-sifat bentuk
pangkat, diperoleh:
−7
( b − a )10 ( a + b )−7 = ( ( −1)( a − b ) ) ( a + b )
( a − b )9 ( b + a )−8
( a − b )9 ( a + b )−8
( −1)10 ( a − b )10 ( a + b )1
=
( a − b )9
= ( a − b )( a + b )
10
= a2 − b 2
Jadi, bentuk sederhana dari
( b − a )10 ( a + b )−7
( a − b )9 ( b + a )−8
5
adalah a2 – b2.
Contoh Soal 4
Jika 22017 – 22016 – 22015 = ab, dengan a bilangan prima, maka a + b = ....
Pembahasan:
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat-sifat bentuk
pangkat, diperoleh:
22017 − 22016 − 22015 = ab
⇔ 22+2015 − 21+2015 − 22015 = ab
⇔ 22 × 22015 − 2 × 22015 − 22015 = ab
Misal 22015 = p , maka :
⇔ 4 p − 2 p − p = ab
⇔ p = ab
⇔ 22015 = ab
Oleh karena 2 adalah bilangan prima, maka :
a = 2 dan b = 2015
5
Jadi, a + b = 2017.
C.
SIFAT-SIFAT AKAR PANGKAT
n
Akar dari suatu bilangan dinotasikan dengan a (dibaca akar pangkat n dari a), dengan n
bilangan positif, n ≥ 2, dan a ≥ 0. Pada notasi akar, a disebut radikan, sedangkan n disebut
pangkat akar.
Jika a, b, p, dan q bilangan rasional positif, a, b ≥ 0, serta n ≥ 2, maka berlaku sifat-sifat
berikut.
1.
2.
n
a × n b = n ab n
a
n
b
=
n
a
b
3.
( a)
4.
p n a ± q n a = ( p ± q) n a 5.
(
6.
n
n
=a
)(
a − b = a−b
(a + b) ± 2
ab = a ± b a+ b
)
6
Contoh Soal 5
Tentukan nilai dari bentuk akar berikut!
72 a.
b.
c.
d.
3
72
3
9
32 − 4 50 + 18 (3
2 +2 3
)
2
Pembahasan:
a.
Dengan menggunakan sifat
n
a × n b = n ab , diperoleh:
72 = 36 × 2
= 36 × 2
=6 2
Super "Solusi Quipper"
Selain menggunakan sifat-sifat akar pangkat, bentuk pada soal juga dapat
diselesaikan dengan pohon faktor berikut.
72
Untuk yang berpasangan
ditulis sekali
Untuk yang tidak
berpasangan diakarkan
36
2
2
18
2
9
2
3
3
3
72 =722 ×= 3 ×36 2× 2= 6 2
= 36 × 2
Jadi,
72 = 6 2
7
b.
Dengan menggunakan sifat
3
72
3
9
=3
n
n
a
b
=
n
a
, diperoleh:
b
72
9
=38
=2
Jadi,
c.
3
72
3
9
== 23
72
9
=38
Dengan menggunakan sifat-sifat akar pangkat, diperoleh:
=2
32 − 4 50 + 18 = 16 × 2 − 4 25 × 2 + 9 × 2
= 16 2 − 4 25 2 + 9 2
= 4 2 − 4×5 2 +3 2
= 4 2 − 20 2 + 3 2
= -13 2
32 − 4 50 + 18 = −13 2.
Jadi,
d.
Dengan menggunakan sifat-sifat akar pangkat, diperoleh:
(3
2 +2 3
) = (3 2 ) + 2 × 3 2 × 2 3 + (2 3 )
= 3 ( 2 ) + 12 6 + 2 ( 3 )
2
2
2
2
2
2
= 9 × 2 +12 6 + 4 × 3
= 30 +12 6
(
Jadi, 3 2 + 2 3
)
2
= 30 +12 6.
Contoh Soal 6
Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini!
a.
b.
4
2
8
2 3
8
2
c.
d.
2+ 3
2− 3
16
5+ 3
Pembahasan:
a.
a
Berdasarkan sifat
4
2
4
=
2
b
=
a
b
×
b
b
=
a b
, diperoleh:
b
=
a b
, diperoleh:
b
2
×
2
4 2
2
=2 2
=
Jadi,
b.
4
2
= 2 2.
a
Berdasarkan sifat
8
2 3
=
8
×
2 3
b
=
a
b
×
b
b
3
3
8 3
6
4
=
3
3
=
Jadi,
c.
8
2 3
=
4
3.
3
Dengan menggunakan bentuk sekawan dari penyebutnya, diperoleh:
2+ 3
2− 3
=
2+ 3
2− 3
×
2+ 3
2+ 3
(2 + 3 )
2
=
4−3
= 4+4 3 +3
=7+4 3
Jadi,
2+ 3
2- 3
= 7 + 4 3.
9
d.
Dengan menggunakan bentuk sekawan dari penyebutnya, diperoleh:
16
5+ 3
16
=
=
5+ 3
16
=8
(
5− 3
5− 3
5−3
(
5− 3
×
5− 3
)
)
=8 5 −8 3
Jadi,
16
= 8 5 − 8 3.
5+ 3
Contoh Soal 7
Sederhanakan bentuk berikut!
a.
8 − 2 15 b.
7+4 3 c.
3+ 5 d.
14 + 5 3 Pembahasan:
a.
Dengan menggunakan sifat
8 − 2 15 =
( 5 + 3) − 2
(a + b) ± 2
ab = a ± b , diperoleh:
5.3
= 5− 3
Jadi,
b.
8 − 2 15 = 5 − 3.
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
(a + b) ± 2
ab = a ± b , diperoleh:
7+ 4 3 = 7+2×2 3
= 7+2 4 3
= 7 + 2 12
=
( 4 + 3) + 2
4×3
= 4+ 3
= 2+ 3
10
= 7+2 4 3
= 7 + 2 12
( 4 + 3) + 2
=
4×3
= 4+ 3
= 2+ 3
Jadi,
c.
7 + 4 3 = 2 + 3.
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
(a + b) ± 2
ab = a ± b , diperoleh:
3+ 5
2
×
1
2
3+ 5 =
6+2 5
=
2
(5 +1) + 2 5.1
=
2
5+ 1
=
2
5 +1
=
Jadi,
d.
2
3+ 5 =
5 +1
2
.
Dengan sedikit memodifikasi bentuk pada soal dan menggunakan sifat
(a + b) ± 2
ab = a ± b , diperoleh:
14 + 5 3 = 14 + 25 3
= 14 + 75 ×
=
=
=
=
2
2
28 + 2 75
2
( 25 + 3) + 2
25 × 3
2
25 + 3
2
5+ 3
2
Jadi, 14 + 5 3 =
5+ 3
2
.
11