himpunan - WordPress.com

HIMPUNAN
Arum Handini Primandari, M.Sc
Ayundyah Kesumawati, M.Si
1. Himpunan kosong & semesta
2. Himpunan berhingga & tak berhingga
3. Himpunan bagian (subset)
Jenis-jenis himpunan
4. Himpunan saling lepas
5. Himpunan Kuasa (Power Set)
6. Himpunan Komplemen
Operasi Gabungan (+)
Operasi Selisih (-)
Himpunan
Operasi Pada Himpunan
Operasi Irisan ()
Operasi Kartesian
Operasi Komplemen
Enumerasi
Simbol Baku
Cara Menuliskan Himpunan
Notasi Pembentuk Himpunan
Diagram Venn
Definisi Himpunan
•
Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi
sifat tertentu.
•
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur,
atau anggota dilambangkan dengan “ϵ”
•
Anggota-anggota yang membentuk himpunan
adalah berbeda.
Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Menuliskan semua elemen himpunan yang
bersangkutan di antara dua buah tanda kurung
kurawal.
a)
b)
c)
d)
Contoh:
Himpunan empat bilangan asli yang pertama: A = {1,
2, 3, 4}
Himpunan lima bilangan genap yang pertama: {2, 4, 6,
8, 10}
C = {Joy, Sadness, Disgust, Fear, Anger}
D = { {} }
2. Simbol-simbol baku
Simbol baku untuk himpunan antara lain:
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan asli (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Menuliskan syarat keanggotaan himpunan, dengan notasi:
{x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Contoh:
a) A adalah himpunan bilangan prima lebih kecil dari 15,
maka:
–
–
{x | x adalah bilangan prima lebih kecil dari 15}, atau
{x | x < 15, x ϵ N}
b) {x | x adalah himpunan mahasiswa statistika UII yang
mengambil mata kuliah Metode Statistika I}
4. Diagram Venn
• Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau
merupakan topik pembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk kotak.
• Di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran-lingkaran untuk
merepresentasikan himpunan.
• Kadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen
himpunan.
• Contoh: Diagram Venn yang menggambarkan himpunan V yaitu himpunan
huruf vokal dalam bahasa Indonesia
Himpunan Berhingga
• Jika himpunan A memiliki n buah elemen yang
berbeda, maka A adalah himpunan berhingga
(finite set).
Kardinalitas
• Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal
dari himpunan A.
• Notasi: |A| atau n(A)
Himpunan Kuasa (Power Set)
• Himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari
seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A).
• Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau
n(P(A)).
• Rumus kardinal dari P(A) adalah:
n(P(A))  2
n( A)
Himpunan Kosong
• Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki
elemen, yang disebut sebagai himpunan
kosong.
• Dinotasikan sebagai  atau {}.
• Contoh:
a) A = {x | x adalah bilangan prima genap
kurang dari 2}; n(A) = 0
b) B = {x | x2 < 0, x ϵ N}; n(B) = 0
Himpunan Semesta
• Himpunan semesta (S) disebut juga himpunan
universal (U).
• Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen,
dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka
dapat dinotasikan a  S.
• Contoh:
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}, maka 2  U.
Himpunan Bagian (Subset)
• Sebuah himpunan A merupakan himpunan bagian (subset)
dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen B.
• Dalam hal ini dikatakan bahwa B superset dari A
• Notasi: A  B
• Diagram Venn:
U
A
B
• Contoh himpunan bagian:
a) {1,2,3}  {1,2,3,4,5}
b) {4,5,6}  {4,5,6}
c) N  Z  R  C
• TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal
sebagai berikut:
1) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A  A).
2) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( 
A).
3) Jika A  B dan B  C, maka A  C
•   A dan A  A, maka dan A disebut himpunan
bagian tak sebenarnya (improper subset) dari
himpunan A.
• Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan  adalah
improper subset dari A.
• A  B berbeda dengan A  B
A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B.
Demikian A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper
subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2,3} adalah proper subset dari {1,2,3}
ii. A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A
= B.
i.
Himpunan Saling Lepas (disjoint)
• Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)
jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan
tidak mempunyai elemen yang sama.
• Notasi: A // B
U
A
B
• Contoh:
a) A  { x | x 2  8 x  12  0} dan B  { x | x 2  4  0} tidak saling lepas
b) A  { x | x 2  8 x  12  0} dan C  {1,3,5} saling lepas
Operasi himpunan
1. Irisan (intersection)
• Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen
persekutuan dari himpunan A dan B.
•
Notasi: A  B  { x | x  A dan x  B}
• Contoh:
a) Jika A = {2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka:
A  B  {2,4,6}
b) Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka:
A  B  {} , artinya A // B
2. Gabungan (Union)
• Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua
elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya.
•
Notasi: A  B  { x | x  A atau x  B}
• Contoh:
a) Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P  Q = {a, b, c,
d, e, f }
b) A    A
3. Komplemen (complement)
• Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua
elemen dalam semesta pembicaraan tetapi bukan elemen A.
•
Notasi: AC  A  { x | x  U , x  A}
• Contoh:
a) Misalkan: U = {1, 2, 3, …, 10} . Jika A = {1, 2, 3, 4}, maka Ac =
{5, 6, 7, 8, 9, 10}.
b) S c   dan  c  S
c c
c)  A   A
d) A  Ac  S dan A  Ac  
4. Selisih
• Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B.
•
Notasi: A  B  { x | x  A, x  B}
•
Contoh:
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
5. Perkalian Kartesian (cartesian product)
• Cartesian products dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin
terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan
komponen kedua dari himpunan B.
•
Notasi: A  B  (a , b)|a  A, b  B
•
Contoh:
Misalkan: A = {a, b} dan B = {1, 2, 3}, maka:
A  B  (a ,1),(a ,2),(a ,3),(b,1),(b,2),(b,3)
• Catatan untuk perkalian kartesian:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga,
maka: n(A×B) = n(A).n(B)
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a),
dengan kata lain (a, b)  (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A  B  B 
A dengan syarat A atau B tidak kosong.
4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 
6. Beda setangkup (Symmetric Difference)
• Notasi: A  B   A  B    A  B 
  A  B  B  A
•
Contoh:
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5}, maka:
A  B  {3,4,5,6}
Teorema Aljabar Himpunan
Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah
subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut:
1. Hukum asosiatif (associative law)
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
2. Hukum komutatif (commutative law)
AB=BA
AB=BA
A B=BA
3. Hukum distributif (distributive law)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
4. Hukum identitas (identity law)
A=A
AS=A
5. Hukum komplemen (complement law)
A  Ac = S
A  Ac = 
6. Hukum idempoten (idempotent law)
AA=A
AA=A
7. Hukum ikatan (bound law)
AS=S
A=
8. Hukum penyerapan (absorption law)
A  (A  B) = A
A  (A  B) = A
9. Hukum involusi (involution law)
A’’ = A
10. Hukum 0/1(1/0 law)
c = S
Sc = 
11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De Morgan’s laws for
sets)
(A  B)c = Ac  Bc
(A  B)c = Ac  Bc
Latihan
Referensi
• kur2003.if.itb.ac.id/file/Himpunan.doc
• Diktat Kalkulus: Undip