RT_03_Review Probabilitas

Review Teori Probabilitas
Rekayasa Trafik
Sukiswo
sukiswok@yahoo.com
sukiswo@elektro.ft.undip.ac.id
Rekayasa Trafik, Sukiswo
1
Outline
 Arti Probabilitas
 Counting Method
 Random Variable
 Discrete RV
 Continuous RV
 Multiple RVs
Rekayasa Trafik, Sukiswo
2
Arti Probabilitas
Rekayasa Trafik, Sukiswo
3
Apakah Probabilitas
 Arti probabilitas
– Situasi tdk dp secara eksak direplikasi
– Tetapi tdk chaotic (memp suatu pola)
Rekayasa Trafik, Sukiswo
4
Probabilitas
 Definisi
– Logika probabilitas
 Aksioma
– Fakta tanpa bukti/proof
 Teorema
– Diturunkan dari Definisi, Aksioma, atau Teorema
lainnya
Rekayasa Trafik, Sukiswo
5
Matematik Probabilitas
 Teori set
– Operasi set
– Set properties
Rekayasa Trafik, Sukiswo
6
Set Properties Penting
Rekayasa Trafik, Sukiswo
7
Eksperimen
 Apakah suatu eksperimen?
– Metoda utk mencari sejumlah fakta/konklusi
 Berikan suatu contoh?
– Utk film “Matrix Reloaded”, apakah fun?
– Berdiri di depan bioskop
– Tanya audiences, fun atau tdk?
 Komposisi dari suatu eksperimen
– Prosedure
– Observasi
 Mengapa eksperimen diperlukan?
– Ketidakpastian
Rekayasa Trafik, Sukiswo
8
Eksperimen
 Concern mengenai film “Matrix Reloaded”
– Apakah sebaiknya saya tanya laki-laki dewasa, perempuan
dewasa atau remaja?
– Pengalaman dari audiences
– Pengetahuan dari audiences
 Complicated experiment  perlu Model
– Eksperiment nyata: terlalu rumit
– Tangkap hanya bagian penting
– Contoh Model:
• Perlakukan semua audiences sama
• Jawaban hanya akan suka/tdk suka
Rekayasa Trafik, Sukiswo
9
Eksperimen
 Contoh:
– Lempar suatu coin 3 kali, observasi deretan heads/tails
– Lempar suatu coin 3 kali, observasi jumlah heads
Rekayasa Trafik, Sukiswo
10
Definisi dalam Probabilitas
 Outcome
– Sembarang observasi yg mungkin
 Sample Space
– Finest-grain: masing-masing outcome berbeda
– Mutually exclusive: jika satu outcome muncul, lainnya
tdk akan
– Collectively exhaustive: tiap outcome harus dlm sample
space
 Event
– Set dari outcomes (harus tahu semua outcomes)
– Event ⊂ Sample Space
Rekayasa Trafik, Sukiswo
11
Contoh-Contoh Event
Outcomes:
bilangan = 1,2,3,4,5,6
Sample space:
S = {1,2,3,…,6}
Event examples:
E1 = {bilangan < 3} = {1,2}
E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5}
Rekayasa Trafik, Sukiswo
12
Set vs Probabilitas
Rekayasa Trafik, Sukiswo
13
Probabilitas dari Event P[ ]
Dari eksperimen: Lempar dadu
Outcomes:
bilangan = 1,2,3,4,5,6
Sample space:
S = {1,2,3,…,6}
Event examples:
E1 = {bilangan < 3} = {1,2}
E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5}
Rekayasa Trafik, Sukiswo
14
Aksioma-Aksioma Probabilitas
 Aksioma 1: Utk sembarang event A, P[A] ≥ 0
 Aksioma 2: P[S] = 1
 Aksioma 3: Utk events A1, A2,…, An yg mutual
exclusive events
Rekayasa Trafik, Sukiswo
15
Contoh Teorema-Teorema
 Teorema: Jika A dan B disjoint maka
 Teorema: Jika B = B1  B2  B3  …  Bn dan Bi
 Bj =  maka
Rekayasa Trafik, Sukiswo
16
Equally Likely
 Teorema:
Utk suatu eksperimen dg sample space
S={s1,…, sn}
Jika tiap outcome adalah equally likely,
Rekayasa Trafik, Sukiswo
17
Konsekuensi Dari Aksioma-Aksioma
Teorema:
 P[∅] = 0
 P[Ac] = 1 - P[A]
 Utk sembarang A dan B (tdk harus disjoint)
– P[A ∪ B] = P[A] + P[B] – P[A∩B]
– Jika A ⊂ B , maka P[A] ≤ P[B]
Rekayasa Trafik, Sukiswo
18
Suatu Teorema yg Berguna
Mis B1, B2,…,Bn eventEvent yg mutual exclusive
Dimana gabungannya
(union)
Sama dg sample space S
 partisi dari S
Utk sembarang event A
Teorema
Rekayasa Trafik, Sukiswo
19
Conditional Probability
 Dlm praktek, mungkin tdk mungkin utk menemukan
outcome yg persis dari suatu eksperimen
 Namun, jika kita tahu bhw Event B telah terjadi
(outcome dari Event A adalah dlm set B)
– Probabilitas dari A jika B muncul dp dinyatakan
– Masih belum tahu P[A]
Rekayasa Trafik, Sukiswo
20
Conditional Probability
 Notasi:
P[A|B]
– Probabilitas dari A diberikan B
– Condition probability dari
event A diberikan kemunculan
dari event B
 Definisi:
Rekayasa Trafik, Sukiswo
21
Penjelasan Lanjut
Rekayasa Trafik, Sukiswo
22
Law of Total Probability
 Mis B1, B2,…,Bn event-
event mutual exclusive
dimana union sama dg
sample space S
 P[Bi] > 0
Rekayasa Trafik, Sukiswo
23
Bayes’ Theorem
Rekayasa Trafik, Sukiswo
24
2 Independent Events
Rekayasa Trafik, Sukiswo
25
Independent Interpretation
Rekayasa Trafik, Sukiswo
26
Independent vs Disjoint
Rekayasa Trafik, Sukiswo
27
3 Independent Events
Rekayasa Trafik, Sukiswo
28
Most Common Application

Asumsi bhw events dari eksperiments terpisah
adalah independent

Contoh:
–
Asumsi bhw outcome dari suatu toss coin toss
independent dari outcomes dari semua toss coin
sebelum dan sesudahnya
P[H] = P[T] = ½
P[HTH] = P[H]P[T]P[H] =
1/2*1/2*1/2 = 1/8
Rekayasa Trafik, Sukiswo
29
Eksperimen Sekuensial
 Eksperimen: secara sekuensial
subexperiments  subexperiments
 Tiap subexp. bisa tergantung pd yg sebelumya
 Direpresentasikan dg suatu Tree Diagram
 Model Conditional Prob.  Sequential Experiment
Rekayasa Trafik, Sukiswo
30
Contoh Sekuensial
 Koordinasi waktu 2 lampu lalu lintas
– P[lampuke-2 berwarna sama dg yg pertama] = 0.8
– Asumsi lampu ke-1 memp kemungkinan sama utk hijau
atau merah
 Cari P[lampu ke-2 adalah hijau] ?
Rekayasa Trafik, Sukiswo
31
Contoh Sekuensial
Rekayasa Trafik, Sukiswo
32
Contoh Sekuensial
P[lampu ke-2 adalah hijau] ?
Rekayasa Trafik, Sukiswo
33
Counting Method
Rekayasa Trafik, Sukiswo
34
Prinsip Counting Method
Rekayasa Trafik, Sukiswo
35
K-permutations
Rekayasa Trafik, Sukiswo
36
Pilih dengan Replacement
Rekayasa Trafik, Sukiswo
37
K-combination
Rekayasa Trafik, Sukiswo
38
Independent Trials
 Laksanakan pengulangan percobaan (trials)
 p = probabilitas sukses
 (1-p) = probabilitas gagal
 Tiap percobaan adalah independent
 Sk,n = event bahwa k sukses dlm n percobaan
Rekayasa Trafik, Sukiswo
39
Independent Trial: Contoh
 3 percobaan dg 2 sukses
 000 001 010 011 100 101 110 111
 Berapa banyak cara utk memilih 2 dari 3
– Berapa probabilitas sukses utk tiap cara?
– p2 * (1-p)
Rekayasa Trafik, Sukiswo
40
Independent Trial: Contoh
 Contoh: pd ronde pertama dari makanan, probabilitas suatu
piring akan lulus test adalah 0.8
Dari 10 kandidat, berapa probabilitas bhw x kandidat akan
lolos? P[x = 8]?
 Solusi:
A = {suatu piring lolos test}, P[A] = 0.8
Testing suatu piring adalah suatu independent trial
Rekayasa Trafik, Sukiswo
41
Independent Trials: Reliabilitas
Mis probabilitas suatu komputer bekerja = p
Series:
P[A] = P[A1A2] = p2
Paralel: P[B] = ?
P[B] = 1 – P[Bc]
= 1 – P[B1cB2c]
= 1 – (1 – p)2
Rekayasa Trafik, Sukiswo
42
Random Variabel
Rekayasa Trafik, Sukiswo
43
Random Variable
 Suatu varibel yg menggambarkan outcome dari suatu




aktivitas random seperti rolling a die
Mendefinisikan sebuah pemetaan dari outcome menjadi
suatu nilai (value)
Has a range of values over which it can vary and a
probability distribution with which it takes on these values
Discrete random variable – can take on a finite or
countable set of values, e.g., number of customers in
system
Continuous random variable – can take on values over a
continuous interval, e.g., waiting time
Rekayasa Trafik, Sukiswo
44
Random Variable
 Eksperimen (Model Fisik)
 Komposisi dari prosedur & observasi
 Dari observasi, kita dapat outcomes
 Dari semua outcomes, kita mendapatkan model
probabilitas (matematis) disebut “Sample space”
 Dari model, kita dapat P[A], A  S
Rekayasa Trafik, Sukiswo
45
Random Variable
Dari suatu model probabilitas
 Mis.: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan dari lampu
S = {R1R2,R1G2,G1R2,G1G2}
 Jika dialokasikan suatu bilangan pd tiap outcome pd
S, tiap bilangan yg kita observasi disebut “Random
Variable”
 Observasi jumlah lampu merah
SX = {0,1,2}
Rekayasa Trafik, Sukiswo
46
Random Variable
Rekayasa Trafik, Sukiswo
47
2 Tipe Random Variable
 Discrete Random Variable
Contoh:
X = # jumlah shuttle-cocks yg digunakan pd suatu
pertandingan badminton
 Continuous Random Variable
Contoh:
Z = # menit dari lama panggilan
Rekayasa Trafik, Sukiswo
48
Discrete Random Variabel
Rekayasa Trafik, Sukiswo
49
Discrete Random Variable
 Definisi:
– X adalah suatu discrete random variable jika
rentang/range dari X dp dihitung/ countable
Sx = {x1,x2,…}
– X adalah suatu finite random variable jika semua nilai
dg probabilitas tdk nol ada dlm set terbatas
Sx = {x1,x2,…,xn}
Rekayasa Trafik, Sukiswo
50
Mengapa Kita Memerlukan suatu RV
 Utk suatu model probabilitas (eksperimen), outcome
pd S dp dlm berbagai bentuk sembarang
 Jika kita implementasikan suatu Random Variable,
kita dp kalkulasi rata-rata!
 Dlm Probabilitas, rata-rata disebut “expected value”
dari suatu random variable
Rekayasa Trafik, Sukiswo
51
Probability Mass Function
 Utk suatu model probabilitas (discrete),
P[A] =
[0,1]
 Utk suatu discrete random variable, model
probabilitas disebut suatu “Probability Mass Function
(PMF)”
Rekayasa Trafik, Sukiswo
52
Probability Mass Function
Rekayasa Trafik, Sukiswo
53
Contoh PMF
 Contoh:
2 lampu lalu lintas, observasi urutan lampu
S = { R1R2 , R1G2 , G1R2 , G1G2}
 Cari PMF dari T, jumlah dari lampu merah
Rekayasa Trafik, Sukiswo
54
Contoh PMF
 T adalah suatu random variable dari # lampu merah
 Cari PT(t)
 PT(t) = P[T = t]
 Pertama-tama, cari probabilitas utk tiap t
 Tiap outcome adalah equally likely 1/4
P[T=0] = P[{G1G2}] = 1/4
P[T=1] = P[{R1G2 , G1R2 }] = 2/4 = 1/2
P[T=2] = P[{R1R2}] = 1/4
Rekayasa Trafik, Sukiswo
55
Contoh PMF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
56
Teorema PMF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
57
Discrete RV Yg Berguna
 Discrete Uniform Random Variable
 Bernoulli Random Variable
 Geometric Random Variable
 Binomial Random Variable
 Pascal Random Variable
 Poisson Random Variable
Rekayasa Trafik, Sukiswo
58
Discrete RV Yg Berguna
Rekayasa Trafik, Sukiswo
59
Discrete RV Yg Berguna
Rekayasa Trafik, Sukiswo
60
Cumulative Distribution Function
(CDF)
Memuat informasi lengkap mengenai model
probabilitas dari random variable
Rekayasa Trafik, Sukiswo
61
Teorema CDF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
62
Contoh CDF
 Utk suatu binomial RV, # durian jatuh dlm 5 test dg p
= 0.2
Rekayasa Trafik, Sukiswo
63
Contoh CDF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
64
Rata-Rata
 Study RV  rata-rata
 Berapakah rata-rata dari suatu RV?
– Satu bilangan tunggal yg dp menggambarkan RV
– Suatu contoh dari statistik
 Apakah Statistik?
– Bilangan yg mengumpulkan semua informasi yg
dibawah perhatian kita
– Rata-rata: mean, mode, dan median
Rekayasa Trafik, Sukiswo
65
Rata-Rata
 Mean:
– Sum / #terms
 Mode:
– Nilai yg paling sering
– PX(xmod) ≥ PX(x) x
 Median:
– Pertengahan dari set data
– P[X < xmed] = P[X > xmed]
Rekayasa Trafik, Sukiswo
66
Mean  Expected Value
 Menambahkan semua pengukuran/ #terms
 Contoh:
 E[T] = ?
= 0(1/4) + 2(3/4) = 3/2
Rekayasa Trafik, Sukiswo
67
Expected Value
Rekayasa Trafik, Sukiswo
68
Discrete RV yg Berguna
Rekayasa Trafik, Sukiswo
69
Discrete RV yg Berguna
Rekayasa Trafik, Sukiswo
70
Variance & Standard Deviation
 Kita tahu rata-rata, E[X], kenapa kita perlu Variance &
Standard Deviation?
 Seberapa jauh dari rata-rata?
 T = X – µx
E[T] = E[X – µx]
=0
Rekayasa Trafik, Sukiswo
71
Variance
 Ukuran yg berguna adalah E[|T|]
 E[T2] = E[(X – µx)2]  Variance
Rekayasa Trafik, Sukiswo
72
Standard Deviation
 σX andingkan dg µx
 Ex. σX = 15, Score +6 dari mean
 OK. Pertengahan kelas
 Ex. σX = 3,Score +6 dari mean
 Sangat baik dlm grup Top class
Rekayasa Trafik, Sukiswo
73
Derived Random Variable
Rekayasa Trafik, Sukiswo
74
Mengapa Kita Perlu Derived
Random Variable
 Dari harga sampel dari random variable, harga-harga
ini utk menghitung quantities lain
 Contoh:
– cari bentuk harga suatu decibel dari signal-to-noise
ratio
 Y = g(X)
Rekayasa Trafik, Sukiswo
75
Contoh-1
 Random Variable X = # hal dlm satu fax
PX(x) = jumlah hal dlm tiap fax
 Charging plan
– Hal ke-1 = 100 Rupiah
– Hal ke-2 = 90 Rupiah
– …
– Hal ke-5 = 60 Rupiah
– Hal 6 – 10 = 500 Rupiah
 Cari charge dlm Rupiah utk mengirim satu fax
Rekayasa Trafik, Sukiswo
76
Contoh-1
 Random Variable Y = charge dlm Rupiah utk
mengirim satu fax
Rekayasa Trafik, Sukiswo
77
PMF dari Y
P[Y=y] = Σ dari semua outcomes X = x dimana Y = y
Rekayasa Trafik, Sukiswo
78
Conditional PMF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
79
Continuous Random Variabel
Rekayasa Trafik, Sukiswo
80
Random Variable
Rekayasa Trafik, Sukiswo
81
Continuous Sample Space
 Utk Discrete: Set bilangan countable
– SX = {-1,0,1,3,4}
– SX = {-1,0,9,0,0,5,1,1,8,2.25,2.9,3}
 Utk continuous: Set bilangan uncountable
– SX = Interval antara 2 limit
– SX = (x1,x2) = (-1,3)
Rekayasa Trafik, Sukiswo
82
Probabilitas dari Suatu Continuous
RV
 Mengukur T, waktu download
ST= {t | 0 < t < 12}
 Tebak waktu download adalah (0, 10] menit
 Tebak waktu download adalah [5, 8] menit
 Tebak waktu download adalah [5, 5.5] menit
Kemungkinan tebakan kita benar makin kecil
 Tebak waktu download adalah tepat 5.25 menit
Probabilitas utk tiap outcome individual adalah nol.
Probabilitas yg jadi perhatian adalah suatu interval
Rekayasa Trafik, Sukiswo
83
CDF
 Utk Discrete:
– Probability Mass Function PMF, PX(X)
 Utk Continuous:
– Tdk mungkin utk mendefinisikan PMF
– Cumulative Distribution Function (CDF)
Rekayasa Trafik, Sukiswo
84
Teorema CDF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
85
Probability Density Function
Rekayasa Trafik, Sukiswo
86
Probability Density Function
 Slope dari CDF pd suatu region dekat x
 Probabilitas dari random variable X dekat x
 Prob. Pd suatu region keci (∆) = slope * ∆
– Slope dari CDF  PDF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
87
Teorema PDF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
88
Expected Values
Rekayasa Trafik, Sukiswo
89
Expected Value & Varaiance
Rekayasa Trafik, Sukiswo
90
Beberapa Continuous RV Berguna
 Uniform
 Exponential
 Gaussian
Rekayasa Trafik, Sukiswo
91
Uniform Continuous RV
Rekayasa Trafik, Sukiswo
92
Uniform Continuous RV
Rekayasa Trafik, Sukiswo
93
Exponential Continuous RV
Rekayasa Trafik, Sukiswo
94
Contoh Exponential
Rekayasa Trafik, Sukiswo
95
Exponential Continuous RV
Rekayasa Trafik, Sukiswo
96
Gaussian Random Variables
Rekayasa Trafik, Sukiswo
97
Gaussian Random Variables
Rekayasa Trafik, Sukiswo
98
Mixed Random Variable
 Discrete RV  PMF & Summation
 Continuous RV  PDF & Integral
 Kombinasi dari Discrete dan Continuous RV
 Unit impulse function
 Dp menggunakan formulas sama utk
menyatakan kedua RVs
Rekayasa Trafik, Sukiswo
99
PMF  PDF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
100
PMF  PDF
Rekayasa Trafik, Sukiswo
101
Contoh
Rekayasa Trafik, Sukiswo
102
Summary
 Probability and Random Variable
 Discrete Random Variable
– Uniform/Bernoulli/Geometric/…
– PMF & CDF
– Expected Value
– Variance & Standard Deviation
 Continuous Random Variable
– PDF
– Uniform/Exponential/Gaussian
 Multiple Random Variables
 Stochastic Process
Rekayasa Trafik, Sukiswo
103