Logika matematika - altien jonathan rindengan

INDUKSI
MATEMATIKA
PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
Pendahuluan



Induksi matematika merupakan metode penting
untuk membuktikan suatu pernyataan yang
berhubungan dengan bilangan asli.
Kita mengingat kmbali bahwa bilangan asli
N = {1,2,3,…}
Mempunyai operasi aritmetika biasa yaitu :
penjumlahan, perkalian dan mempunyai urutan
Pendahuluan ….


Problem :
Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama?
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Tebakan:
“Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2”
Pendahuluan ….


Teknik untuk membuktikan proposisi dalam bentuk
n P(n), dengan semesta pembicaraan adalah
himpunan bilangan bulat positif.
Pembuktian dengan menggunakan induksi
matematika bahwa
“P(n) benar untuk setiap n bilangan bulat positif “
Prinsip Induksi Matematika
Misalkan proposisi P(n) dengan semesta bagi
n adalah bilangan asli. Untuk membuktikan
n P(n), cukup dibuktikan :
1. P(1) benar
2. k ≥ 1 [ P(k)  P(k +1)]
Prinsip Induksi Matematika ….

Dalam pembuktian, langkah-langkahnya adalah :
1. Basis Induksi :
Tunjukkan bahwa P(1) benar
2. Hipotesis Induksi :
Anggap P(k) benar untuk k ≥ 1
3. Langkah Induksi :
Tunjukkan P(k + 1) benar berdasarkan hipotesis
induksi
Prinsip Induksi Matematika ….

Induksi matematika sering digunakan untuk
membuktikan proposisi-proposisi matematika yang
berbentuk :
1. Jumlah deret bilangan
2. Ketaksamaan nilai
3. Bilangan yang habis dibagi bilangan tertentu.
Prinsip Induksi Matematika ….


Contoh 1
Buktikan bahwa
n(n  1) , 
1 2   n 
nN
2
Jawab
“Jumlah n bilangan asli pertama adalah n(n+1)/2”
1. Basis Induksi:
P(1) benar, karena : 1(1+1)/2 =2/2 =1
2. Hipotesis Induksi:
Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k, yaitu
1 +2 + 3 + … + k = k(k+1)/2
Prinsip Induksi Matematika ….
3. Langkah induksi :
Akan dibuktikan benar untuk k+1 bahwa :
(k  1)((k  1)  1)
1  2    k  (k  1) 
2
Berdasarkan hipotesis induksi
1  2    k  (k  1) 
k (k  1)
 (k  1)
2
k (k  1)  2(k  1)

2
Prinsip Induksi Matematika ….
(k  1)( k  2)

2
(k  1)(( k  1)  1)

2
 terbukti.
Prinsip Induksi Matematika ….


Contoh 2
Buktikan bahwa jumlah dari n bilangan ganjil positif
pertama adalah n2.
Jawab
1 + 3 + 5 + … + n = n2 , n  N
1. Basis induksi:
P(1) benar, karena 1 = 12
2. Hipotesis induksi:
Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semua k, yaitu
1 +3 + 5 + … + (2k-1) = k2.
Prinsip Induksi Matematika ….
3. Langkah induksi :
Akan dibuktikan benar bahwa :
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)2
Berdasarkan hipotesis induksi
1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2(k+1) – 1)
= k2 + (2(k+1) – 1)
= k2 + 2k + 2 – 1
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
 terbukti.
Prinsip Induksi Matematika ….


Contoh 3
Buktikan bahwa 2n  (n  1)! , n  N
Jawab
1. Basis induksi :
21  (1  1)!
21  2!
22
(benar)
Prinsip Induksi Matematika ….
2. Hipotesis induksi :
2k  (k  1)!
(dianggap benar)
3. Langkah induksi :
Akan dibuktikan benar bahwa :
2k 1  ((k  1)  1)!
atau
2k 1  (k  2)!
Prinsip Induksi Matematika ….
Berdasarkan hipotesis induksi
2k 1  2.2k  2(k  1)!
 (k  2)(k  1)!
 (k  2)!
 terbukti.
karena 2  (k  2) k  N
Prinsip Induksi Matematika ….


Contoh 4
Buktikan bahwa (2n  1)2  1 habis dibagi 8, n  N
Jawab
(2n  1)2  1 habis dibagi 8 dapat dinyatakan
(2n  1)2  1 = 8 p , untuk p  Z
1. Basis induksi :
(2.1+1)2 – 1 = 8.p
9 - 1 = 8.p
8 = 8.1 , p =1
(benar)
Prinsip Induksi Matematika ….
2.Hipotesis induksi :
(2k + 1)2 – 1 habis dibagi 8
(dianggap benar)
atau
(2k + 1)2 – 1 = 4k2 + 4k +1 – 1 = 4k2 + 4k = 8a
3.Langkah induksi :
Akan dibuktikan (2(k +1) + 1)2 – 1 habis dibagi 8
atau
(2(k +1) + 1)2 – 1 = 8b
Prinsip Induksi Matematika ….
Berdasarkan hipotesis induksi
(2(k +1) + 1)2 – 1 = (2k +3)2 – 1
= 4k2 +12k + 9 – 1
= (4k2 + 4k) + 8k + 8
= 8a + 8k + 8
= 8 (a + k + 1)
=8b
, b = (a + k + 1)  Z
 terbukti.
Latihan
Buktikan bahwa 1(2) + 2(3) +…+ n(n+1) =
untuk semua n.