STK201_05 - Stat.ipb.ac.id

Kombinasi Linear,
Spanning Set dan Landasan
Bagus Sartono
bagusco4@yahoo.com
Outline
• Kombinasi Linear
• Spanning Set
• Ruang Kolom dan Ruang Baris
• Kebebasan Linear
• Landasan
• Landasan Ortogonal
Definisi:
Jika
S  S 1 , S 2 ,, S n  adalah himpunan terhingga n buah
vektor, kombinasi linear dari vektor-vektor anggota S didefinisikan
a1 S 1  a2 S 2    an S n
sebagai
atau
n
a S
i 1
i
i
dengan
ai  R
i=1,2,…,n
misalkan
 1   1   0 
     
s   3 ,  4 ,  1 
 0   1   0 
     
1
1
0
 
 
 
5 3   2 4   3 1 
0
1
0
 
 
 
 7
 
  24 
 2
 
Kombinasi linear
vektor-vektor є S
1 1 0
     
3 3   0 4   3 1 
0 1 0
     
 3
 
 6
0
 
Ilustrasi 1:
 1   2 
   
S   2 ,  1   s1 , s 2 
 0   1 
   
dan
 3
 
a   3
1
 
Apakah a kombinasi linear dari {s1, s2} ?
1
 2
 
 
a  a1  2   a2  1 .......?
0
1
 
 
ambil
 3  1   2 
     
a   3   1 2   1 1 
1  0   1 
     
Jika kita bisa menemukan a1 dan a2, maka
a kombinasi linear dari {s1, s2}
Karena ada a1 dan a2, maka a kombinasi
linear dari {s1, s2}
Ilustrasi 2:
 1   2 
   
S   2 ,  1   s1 , s 2 
 0   1 
   
 3
 
b   2
0
 
1
 2
 
 
b  b1  2   b2  1 .......?
0
1
 
 
Apakah b kombinasi linear dari {s1, s2} ? Kita periksa apakah SPLnya
konsisten atau tidak
1 2


A  2 1
0 1


r(A)=2
1 2 3


A | y   2 1 2
0 1 0


r(AIy)=3
Karena r(A) ≠ r(A|y), maka kita tidak dapat menemukan nilai b1 dan
b2 yang memenuhi SPL tersebut. Maka b bukan kombinasi linear
dari {s1, s2}
Spanning Set
Perhatikan kembali ruang vektor


a
R   v   ; a, b  R 
b


2
 1   0 
andaikan K   ,  
 0   1 
Bisa ditunjukkan bahwa setiap v  R2 dapat dituliskan sebagai
kombinasi linear vektor-vektor di K
a
1 0
   a   b 
b
 0 1
Contoh Lain (1)
 1   1 
M   ,  
 0   2 
Andaikan
 4 1  1
   1   3 
 6  0  2
 4
  
5

3 1 5 1
    
2  0 2  2

a
1 b 1
b
   a 
    
2
b
0 2  2
Setiap v  R2 bisa
dituliskan sebagai
kombinasi linear vektor di M
Contoh lain (2)
ambil
 1   2 
W   ,  
 2   4 
 5   1  2
   5   0 
10   2   4 
 5
1
 2
   ?    ?  
 5
 2
 4
Tidak ada
Tidak semua v  R2 bisa dituliskan sebagai
kombinasi linear vektor-vektor di W
 1   0 
A   ,  
 0   0 
 3  1
 0
   3   10 
 0  0
 0
 3
1
 0
   ?    ?  
1
 0
 0
Tidak ada
Tidak semua v  R2 bisa dituliskan sebagai
kombinasi linear vektor-vektor di A
Spanning Set (gugus yang merentang)
• Definisi
Sebuah gugus vektor S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai gugus
yang merentang ruang vektor V, jika dan hanya jika setiap v  V
dapat dituliskan sebagai kombinasi linear vektor-vektor di S
• Lihat kembali contoh di slide sebelumnya
– K dan M adalah spanning set bagi R2
– A dan W bukan merupakan spanning set bagi R2
Ruang Kolom dan Ruang Baris
• Kolom-kolom dari sebuah matriks A membentuk
himpunan vektor. Ruang yang direntang oleh
himpunan vektor tersebut dinamakan RUANG KOLOM
MATRIKS A.
• Baris-baris dari sebuah matriks A juga merupakan
himpunan vektor. Ruang yang direntang oleh
himpunan vektor tersebut dinamakan RUANG BARIS
MATRIKS A.
Himpunan vektor yang bebas linear (linearly
independent set of vectors)
• Sebuah gugus vektor S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai gugus
vektor yang bebas linear jika dan hanya jika tidak ada satu pun si
 S yang dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektorvektor sj  S yang lain.
• Atau: Sebuah gugus vektor S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai gugus
vektor yang bebas linear jika dan hanya jika SPL
a1s1 + a2s2 + … + ansn = 0
terjadi jika dan hanya jika a1 = a2 = … = an = 0
• Gugus vektor yang tidak memenuhi kondisi di atas disebut ‘tidak
bebas linear’ atau ‘terpaut linear’
Tentukan apakah himpunan berikut BBL atau TPL
 1   4  1
     
S   2 ,  5 , 1
 3   6  1
     
 2   4   1 
     
M   2 ,  5 ,  2 
 3   6   1 
     
Landasan (basis) dari Ruang Vektor
• Defininsi
S adalah himpunan vektor dan V adalah sebuah ruang
vektor. S disebut sebagai landasan (basis) dari
ruang vektor V jika dan hanya jika:
1. S merentang ruang vektor V
2. vektor-vektor di S bersifat bebas linear
Landasan dari Ruang Vektor
• Apa untungnya keberadaan sifat bebas
linear pada landasan yang tidak dimiliki
oleh sebuah spanning set?
• JAWAB: keunikan koefisien kombinasi
linearnya.
Masih ingat vektor-vektor ortogonal
Himpunan Vektor Ortogonal
• S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai himpunan vektorvektor yang ortogonal jika dan hanya jika si’sj = 0
untuk semua i ≠ j
• S = {s1, s2, …, sn} disebut sebagai himpunan vektorvektor yang ortonormal jika dan hanya jika si’sj = 0
untuk semua i ≠ j dan si’si = 1 untuk semua i = 1, 2, …, n
BUKTIKAN
• Jika S = {s1, s2 , …, sn} adalah himpunan
vektor-vektor yang ortogonal, maka S juga
merupakan himpunan vektor-vektor yang
bebas linear.