Sistem Persamaan Linier - Djoko Luknanto

Sistem Persamaan Linier
Djoko Luknanto
Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan
FT UGM
Kuda-kuda dalam bentuk matriks
P3
P4
C
1
2
A 

3
HA
VA









VB
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
cos 
23/10/2013
B
Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)
P4
0  H A  


P3
0   VA  

0   VB   P3  P4 tan  

  
0   p1   P3 csc  
0   p2   P4 sec  

  
0
1   p3  

2
Penyelesaian dalam bentuk matriks









1
0
0
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
cos 
P4

 H A  

 V  
P
A
3

  
  VB   P3  P4 tan  

   
0   p1   P3 csc  
0   p2   P4 sec  

  
0
1   p3  

0
0
0
[A] {x} = {B}
23/10/2013
Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)
3
Eliminasi Gauss
Baris 1
pengurang
3/4
2/4
1/4
motivasi
hasil
23/10/2013
Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)
4
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
[A] {x} = {B}
Hindari! {x} = ?
-1
{x} =[A] {B}
23/10/2013
Djoko Luknanto (luknanto@ugm.ac.id)
5
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Dengan eliminasi Gauss
1
 a11 a12
0 c
22

0
 0
 a11
a
 21
 a31
a12
a22
a32
a13   x1   b1 
   
a23   x2   b2 
a33   x3  b3 
a13   x1   b1 
   
c23   x2   d 2 
c33   x3   d3 
1 d12
0 1

0 0
23/10/2013
2
d13   x1   f1 
   
d 23   x2    f 2 
1   x3   f3 
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
6
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
1.
Dengan menggunakan matriks invers
 a11
a
 21
 a31
a12
a22
a32
a13   x1   b1 
 c1 
 d1 
   
 
 
a23   x2   b2  atau c2  atau d 2 
c 
d 
a33   x3  b3 
 3
 3
 x1 
 b1 
 

1 
x
[
A
]
b

 2
 2
x 
b 
 3
 3
 x1 
 c1 
 

1 
x
[
A
]
c

 2
 2
x 
c 
 3
 3
23/10/2013
 x1 
 d1 
 

1 
x
[
A
]
d

 2
 2
x 
d 
 3
 3
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
7
Cara mencari matrik invers

Matriks invers sebaiknya dihindari; cara yang
lebih efisien akan dijelaskan kemudian.
1. Bentuk [A]{B}[I]
2. Ubah menjadi
[I]{C}[A]-1
dengan cara
• Eliminasi Gauss:
ubah [A][I]
maka:
1) {B}{C}
2) [I][A]-1
A]
[I ]
{B} 
[


 a11 a12 a13   b1  1 0 0 
a
 b  0 1 0 
a
a
22
23   2  
 21

 a31 a32 a33  b3  0 0 1 
1 0 0   c1   d11 d12 d13 
 0 1 0  c   d

d
d
22
23 

  2   21
0 0 1  c3   d31 d32 d33 
  
{x}
[I ]
[ A]1
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
8
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
2.
Dekomposisi [A] = [L][T]
[ A]{x}  {B}
[ L][T ]{x}  {B} [ L][T ]
[ L]{ y}  {B} { y}
[T ]{x}  { y}  {x}
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
9
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
2.
Dekomposisi [A] = [L][T]
 a11
a
 21
 a31
a12
a22
a32
a13   x1   b1 
 c1 
 d1 
   
 
 
a23   x2   b2  atau c2  atau d 2 
c 
d 
a33   x3  b3 
 3
 3
L}
T}
{
 {

0 0  T11 T12 T13   x1   b1 
1
   
L



 21 1 0   0 T22 T23   x2   b2 
 L31 L32 1   0
0 T33   x3  b3 

[ A]
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
10
Dekomposisi [A] = [L][T]
L}
T}
{
 {

0 0  T11 T12 T13   x1   b1 
1
   
L



 21 1 0   0 T22 T23   x2   b2 
 L31 L32 1   0
0 T33   x3  b3 

[ A]
L}
T}
{
 {

0 0  T11 T12 T13   x1   b1 
1
   
L



 21 1 0   0 T22 T23   x2   b2 
 L31 L32 1   0
0 T33   x3  b3 

{Y }
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
11
Dekomposisi [A] = [L][T]
L}
{

0 0  Y1   b1 
1
L
 Y   b 
1
0
 21
 2  2
 L31 L32 1  Y3  b3 

{Y }
1Y1  0Y2  0Y3  b1  Y1  b1
L21Y1  1Y2  0Y3  b2  Y2  b2  L21Y1
L31Y1  L32Y2  1Y3  b3  Y3  b3  L31Y1  L32Y2
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
12
Dekomposisi [A] = [L][T]
T11 T12 T13   x1  Y1 
   
0 T

T23   x2   Y2 
22

 0
0 T33   x3  Y3 
Y3
0 x1  0 x2  T33 x3  Y3  x3 
T33
Y T x
0 x1  T22 x2  T23 x3  Y2  x2  2 23 3
T22
Y1  T12 x2  T13 x3
T11 x1  T12 x2  T13 x3  Y1  x1 
T11
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
13
Matriks Tridiagonal
Dalam dunia ketekniksipilan banyak
dijumpai matriks tridiagonal terutama
dalam penyelesaian numerik persamaan
diferensial.
 Matriks tridiagonal A = [aij] jika
aij = 0 untuk |i - j| > 1
 Bentuk matriksnya dapat dilihat dalam
tayangan berikut

23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
14
Matriks Tridiagonal

Matriks yang anggotanya hanya terdapat
pada diagonal, bawah dan atas diagonal.
 a1
b
 2
0

0


 0
c1
a2
0
c2
0
0
b3
a3
c2


bn 1 an 1
0

bn
23/10/2013
0 


 


cn 1 

an 
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
15
Matriks Tridiagonal
A = LU


1 0
 1  1

b 



0
2
 2
 0 1  2



  0 b3  3





1  n 1 

 
 0
bn  n  0
0
1 
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
16
Matriks Tridiagonal
Dengan mengalikan LU = A diperoleh:
 a1 = 1 dan c1 = 11
 ai = i + bii-1 untuk i = 2, 3, …, n
 ii = ci untuk i = 2, 3, …, n-1
dari persamaan di atas diperoleh langkah
hitungan berikut ini:
 1 = a1 dan 1 = c1/1
 i = ai – bii-1 i = ci/i untuk i = 2, 3, …, n
 n = an – bnn-1
Koefisien  dan  disimpan untuk hitunganhitungan lanjutan …
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
17
Matriks Tridiagonal

Nilai x dihitung dari [A]{x} = {f} yang
diubah menjadi
[LU]{x} = {f}
dengan [U]{x} = {z} dan [L]{z} = {f}
sehingga {z} dihitung terlebih dahulu baru
kemudian {x}:
z1 
f1
1
zi 
fi  bi zi 1
i
i  2,3,..., n
xn  zn xi  zi   i xi 1 i  n  1, n  2,...,1
23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
18
Matriks Pita
Metoda penyelesaian untuk matriks
tridiagonal ini dikenal dengan nama
Algoritma Thomas.
 Untuk matriks pita yaitu matriks yang
anggota bernilai tidak nol berada di
sekitar diagonal, maka teknik yang sama
dapat dilakukan dan secara umum disebut
metoda sapuan ganda.

23/10/2013
Djoko Luknanto (http://luk.staff.ugm.ac.id/)
19