Metode Numerik: Pencarian Akar Persamaan

Solusi
Nirlanjar
METODE NUMERIK
Metode Pencarian Akar
Persamaan Nirlanjar:
f(x) = 0
a. Metode Tertutup
mencari akar di dalam selang [a, b] dan lelarannya selalu
konvergen (menuju) ke akar. Jika:
1. f(a).f(b) < 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil
2. f(a).f(b) > 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau
tidak ada akar sama sekali
Syarat Cukup Keberadaan Akar:
Jika f(a)f(b) < 0 dan f(x) menerus di dalam selang
[a, b], maka paling sedikit terdapat satu buah
akar persamaan f(x) = 0 di dalam selang [a, b]
Kasus yang mungkin terjadi:
1. Jumlah akar lebih dari satu
Gunakan selang [a, b] yang cukup kecil yang memuat hanya
satu buah akar
2. akar ganda
3. singularitas (lelarannya tidak pernah berhenti)
Metode Tertutup
1. Metode Bagi Dua (Bisection)
Prinsip:
Kurung akar fungsi di antara dua batas, lalu paruh batas itu
terus menerus sampai batas itu sedemikian sempit dan
dengan demikian lokasi akar fungsi diketahui dengan
keakuratan tertentu.
[a,b]
Bagi dua di x = c
[c, b]
[a, c]
f(a).f(c) < 0
Ya
Tidak
[a, b]  [ a, c]
[a, b]  [ c, b]
Menentukan
daerah
yang
berisi akar fungsi:
Jika z merupakan akar fungsi,
maka f(x < z) dan f(x > z)
saling berbeda tanda.
f(a)*f(c) negatif, berarti di
antara a & c ada akar fungsi.
f(b)*f(c) positif, berarti di
antara b & c tidak ada akar
fungsi
Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti:
Proses
pencarian
akar
fungsi
dihentikan
setelah
keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui
dari kesalahan relatif semu.
Lebar selang baru | a – b | < 
Menentukan banyak lelaran:
Dalam perhitungan numerik, nilai sebenarnya justru sering tidak
diketahui, yang didapat hanya perkiraan terbaik. Karena perkiraan
langkah berikut dianggap lebih akurat, yaitu lebih mendekati nilai
sebenarnya
2. REGULA FALSI
𝑓 𝑏 (𝑏 −𝑎)
𝑐= 𝑏 −
𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎)
3. Regula Falsi Perbaikan
Untuk mengetahui nilai c tetap sama dengan cara
menentukan nilai c pada Regulasi Falsi.
Bedanya pada iterasi 1 menggunakan titik mandek.
Yaitu f(b)/2. Selanjutnya tergantung pada selang baru.
Jika selang baru sudah 2 kali berulang, maka pada
iterasi selanjutnya harus dilakukan titik mandek. f(a)/2
ataukah f(b)/2.
Metode Terbuka
Metode yang digunakan untuk menetukan
hampiran akar tanpa memerlukan selang yang
mengurung akar, akan tetapi didasarkan pada
tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang
tidak perlu mengurung akar.
Metode Terbuka
1. Metode Lelaran Titik Tetap (fixed point iteration)
Contoh:
Tentukan akar hampiran dari 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0
dengan tebakan awal akar tsb x0 = 4 dengan 𝜺 =
0,000001
2. Metode Newton-Raphson
𝑓 𝑥𝑟
𝑥𝑟+1 = 𝑥𝑟 − ′
𝑓 𝑥𝑟
𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥0 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑏𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑎𝑤𝑎𝑙 𝑎𝑘𝑎𝑟
3. Metode Secant
𝑓(𝑥𝑟 )(𝑥𝑟 − 𝑥𝑟 −1 )
𝑥𝑟+1 = 𝑥𝑟 −
𝑓 𝑥𝑟 − 𝑓(𝑥𝑟 −1 )
Ciri: memiliki tebakan awal 𝑥0 𝑑𝑎𝑛 𝑥1
Kondisi berhenti lelaran
 Galat Mutlak
| 𝑥𝑟+1 − 𝑥𝑟 | <
 Galat Hampiran
𝑥𝑟+1 −𝑥𝑟
|
| <
𝑥𝑟+1
LATIHAN
Selesaikan persamaan f(x) = x2 – 5 untuk menghitung
pendekatan yang tebakan awalnya x0 = 2 dan x1 = 2,5
atau pada interval [2, 2,5] dengan  = 0,5 x 10 – 5 !
(sampai 6 tempat desimal)
TUGAS 2
Selesaikan persamaan:.
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 yang tebakan awalnya 𝒙𝟎 = 𝟏dan
𝒙𝟏 = 𝟐, interval [1, 2] dengan 𝜺 = 𝟎, 𝟓 × 𝟏𝟎− 𝟓 dengan
menggunakan regula falsi perbaikan, metode Newton
Raphson dan Secant
(ketelitiannya sampai 6 tempat desimal)