FFT - e-Journal UIN Alauddin Makassar

OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES
WITH VARIANSI GAMMA(VG)
Fitriani
Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
scientistmuslimah@gmail.com
ABSTRACT
Info:
Jurnal MSA Vol. 2 No. 2
Edisi: Januari – Juni 2014
Artikel No.: 5
Halaman: 35 - 42
ISSN: 2355-083X
Prodi Matematika UINAM
Fourier transform Techniques have important role in Financial
Mathematics. Fast Fourier Transformation (FFT) is a
technique Fourier transform with high accuracy and more
efficient by using characteristic function than density function
itself. FFT is used to option valuation under Lévy processes.
This journal described Fourier transfor with its properties and
Lévy processes. The section Lévy processes, we present a list
of Lévy processes commonly used in financial applications
together with their characteristic functions. FFT Algorithms is
computed by using characteristic function of Variance Gamma
(VG) with parameter 𝜎, 𝑣, 𝜃). At the end, we simulated
computing Eropa call option value with FFT technique using
VG by Carr and Madan’s approach.
Key Word: Fourier transform, Lévy processes, fast Fourier transform,
Characteristic function, Variance Gamma, European call option Carr and
Madan’s approach
1. PENDAHULUAN
Model Black-Schole dan Merton merupakan
model yang sering digunakan dalam perhitungan
harga opsi pada suatu pergerakan harga saham.
Model tersebut menggunakan Geometric
Brownian Motion dan dengan teorema limit
pusat diperoleh bahwa model pergerakan harga
saham berdistribusi lognormal. Namun, pada
perkembangan dalam dunia keuangan, pada
kenyataannya perubahan pergerakan harga
saham yang tajam dan volatilitas return harga
saham yang bersifat stokastik mengakibatkan
model harga saham tidak selalu mengikuti
distribusi lognormal. Dalam matematika
keuangan, proses Lévy digunakan untuk
memodelkan harga saham yang tidak mengikuti
distribusi normal. Salah satu model harga saham
yang berkembang saat ini adalah
model
eksponensial proses Lévy.
Metode transformasi Fourier banyak
digunakan dalam mencari solusi permasalahan
36
matematika dan fisika. Metode transformasi
Fourier juga digunakan dalam matematika
keuangan untuk perhitungan harga opsi dengan
pergerakan harga saham mengikuti proses Lévy.
Integral dari transformasi Fourier dapat dihitung
dengan mudah dengan menggunakan fungsi
karakterstik atau density function dari proses
Lévy dibandingkan dengan density function dari
transformasi Fourier.
Metode transformasi Fourier dalam
penentuan harga opsi lebih efisien dengan
menggunakan komputasi numeric algoritma fast
Fourier transform (FFT). Pada jurnal ini akan
dilakukan perhitungan harga opsi eropa dengan
menggunakan algoritma FFT dengan fungsi
karakteristik Variansi Gamma (VG).
2. Transformasi Fourier
Misal 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi real yang
kontinu di (−∞, ∞) yang memenuhi:
∞
∫−∞|𝑓𝑥| 𝑑𝑥 < ∞.
(1)
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014
Transformasi Fourier dari 𝑓(𝑥) didefinisakan:
∞
Ƒ𝑓 (𝑢) = ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑦 𝑓(𝑦)𝑑𝑦.
(2)
Rumus invers Fourier diperoleh dengan
mengikuti integral fungsi Dirac 𝛿(𝑦 − 𝑥),
dimana
1 ∞ 𝑖𝑢(𝑦−𝑥)
𝛿(𝑦 − 𝑥) = 2𝜋
𝑑𝑢.
∫−∞ 𝑒
(3)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke
dalam fungsi 𝑓(𝑥):
∞
𝑓(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑦)𝛿(𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦
∞
𝑓(𝑥) =
maka
Ƒℎ = Ƒ𝑓 Ƒ𝑔 .
d. Relasi Parseval (Parseval relation)
Perkalian scalar atau perkalian dalam dari
dua fungsi pada 𝐿2 (ℝ) didefinisikan:
∞
⟨𝑓 ∙ 𝑔⟩ = ∫−∞ 𝑓(𝑥) ̅̅̅̅̅̅
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥.
Transformasi Fourier dari fungsi 𝑓 dan 𝑔
berturut-turut adalah Ƒ𝑓 dan Ƒ𝑔 , maka
1 ∞ 𝑖𝑢(𝑦−𝑥)
𝑓(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑦) 2𝜋
𝑑𝑢 𝑑𝑦
∫−∞ 𝑒
∞
1 ∞ 𝑖𝑢𝑥
(∫−∞ 𝑓(𝑦)𝑒 𝑖𝑢𝑦
∫ 𝑒
2𝜋 −∞
∞
ℎ(𝑥) = 𝑓 ∗ 𝑔(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑦)𝑔(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦,
∞
⟨Ƒ𝑓 ∙ Ƒ𝑔 ⟩ = ∫−∞ Ƒ𝑓 ̅̅̅
Ƒ𝑔 𝑑𝑥.
𝑑𝑦)𝑑𝑢.
∞
1
Untuk 𝑓(𝑥) = 2𝜋
∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 Ƒ𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 , diperoleh:
Sehingga diperoleh dari rumus invers Fourier:
∞
1
𝑓(𝑥) = 2𝜋
∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 Ƒ𝑓 (𝑢)𝑑𝑢.
∞
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 =
∫−∞ 𝑓(𝑥) ̅̅̅̅̅̅
(4)
∞
Suatu proses stokastik 𝑋𝑡 dengan density function
(df) adalah , maka transformasi Fourier dari 𝑝
adalah
=
1
2𝜋
Ƒ𝑝 (𝑢) =
∞
∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑦
𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸[𝑒 𝑖𝑢𝑋 ].
Persamaan (5) disebut
karakteristik dari 𝑋𝑡 .
∞
∞
∫−∞ Ƒ𝑓 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 𝑔(𝑢) 𝑑𝑥𝑑𝑢
∞
1
= 2𝜋
Ƒ𝑔 𝑑𝑢.
∫−∞ Ƒ𝑓 ̅̅̅
(5)
sebagai
fungsi
Berikut diberikan sifat-sifat matematika
transformasi Fourier yang akan digunakan pada
pembahasan jurnal ini adalah:
a. Diferensiasi
Ƒ𝑓 (𝑢) = −𝑖𝑢 Ƒ𝑓 (𝑢)
Maka:
1
⟨𝑓 ∙ 𝑔⟩ = 2𝜋
⟨Ƒ𝑓 (𝑢) ∙ Ƒ𝑔 (𝑢)⟩ .
Selanjutnya, kita akan menerapkan Parseval
relation ke perhitungan harga opsi. Misal 𝑉
adalah harga opsi dengan payoff pada waktu T
adalah 𝑉𝑇 (𝑥) dan 𝑝(𝑥) adalah df dari riskneutral.
∞
𝑉 = 𝑒 −𝑟𝑡 ∫−∞ 𝑉𝑇 (𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑟𝑡 ⟨𝑉𝑇 (𝑥) ∙
b. Modulasi
Ƒ𝑒 𝜆𝑥 𝑓 (𝑢) = Ƒ𝑓 (𝑢 − 𝑖𝜆), 𝜆 ∈ ℝ .
c. Konvolusi
Konvolusi antara dua fungsi yang
integrabel 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dinitasikan dengan:
37
∞
1
∫−∞ 2𝜋
∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 Ƒ𝑓 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢𝑑𝑥
𝑝(𝑥)⟩.
Dengan Parseval relation diperoleh:
−𝑟𝑡
𝑉 = 𝑒2𝜋 ⟨Ƒ𝑝 (𝑢) ∙ Ƒ𝑉𝑇 (𝑢)⟩.
(6)
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014V0202035
3. Transformasi Fourier Diskrit
Diberikan suatu barisan {𝑥𝑘 }, 𝑘 =
0, 1, … , 𝑁 − 1 dan transformasi Fourier diskrit
dari {𝑥𝑘 } adalah {𝑦𝑗 }, 𝑗 = 0, 1, … , 𝑁 − 1, dengan
𝑦𝑗 = ∑𝑁−1
𝑘=1 𝑒
2𝜋𝑖𝑗𝑘
𝑁
𝑥𝑘 , 𝑗 = 0, 1, … , 𝑁 − 1.
(7)
Jika 𝑥 dan 𝑦 ditulis sebagai suatu vector yang
berdimensi – N
𝒙 = (𝑥𝑜 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑁−1 )𝑇 dan 𝒚 =
(𝑦𝑜 , 𝑦, … , 𝑦𝑁−1 )𝑇 ,
adalah (𝑗, 𝑘),
2𝜋𝑖𝑗𝑘
𝑁
, 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑁,
maka 𝑥 dan 𝑦 direlasikan oleh:
𝑦 = 𝐹 𝑁 𝑥.
(8)
Untuk memperoleh 𝑦 diperlukan 𝑁 2 langkah.
Jika dipilih 𝑁 = 2𝐿 , Perhitungan dengan
menggunakan teknik FFT hanya memerlukan
1
𝑁𝐿 = 𝑁2 𝑙𝑜𝑔2 𝑁 langkah.Ide dari algoritma FFT
2
adalah dengan memanfaatkan sifat-sifat periodic
dari kesatuan akar ke- 𝑁. Misal 𝑀 = 𝑁2, dan
membagi vector x kedalam dua vector yang
berukuran setengahnya.
𝒙′ = (𝑥𝑜 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁−2 )𝑇 dan 𝒙′′ =
(𝑥1 , 𝑥3 , … , 𝑦𝑁−1 )𝑇 .
Selanjutnya kita bentuk suatu vektor berdimensi
– M.
𝑦 ′ = 𝐹 𝑀 𝑥 ′ dan 𝑦 ′′ = 𝐹 𝑀 𝑥 ′′ ,
dengan 𝐹 𝑀 adalah matriks 𝑀 × 𝑀 yang
anggotanya adalah (𝑗, 𝑘),
𝑀
𝐹𝑗,𝑘
=𝑒
2𝜋𝑖𝑗𝑘
𝑀
2𝜋𝑖𝑗
𝑁
𝑦 ′′ , 𝑗 = 0, 1, … , 𝑀 − 1,
𝑦𝑗+𝑀 = 𝑦𝑗′ − 𝑒
0, 1, … , 𝑀 − 1. (9)
2𝜋𝑖𝑗
𝑁
𝑦 ′′ , 𝑗 =
Dari perkalioan vector matriks 𝐹 𝑁 𝑥 kita dapat
mereduksi jumlah operasi dengan perkalian dua
vector matriks 𝐹 𝑀 𝑥 ′ dan 𝐹 𝑀 𝑥 ′′ . Jumlah operasi
2
direduksi dari 𝑁 2 ke 2(𝑁2)2 = 𝑁2 . Prosedur yang
sama untuk mereduksi panjang barisan menjadi
setengah dapat dilakukan berulang-ulang.
Melalui algoritma FFT, jumlah total operasi
direduksi dari Ο(𝑁 2 ) ke Ο(𝑁 𝑙𝑜𝑔2 𝑁).
4. Proses Lévy
dan 𝐹 𝑁 adalah matriks 𝑁 × 𝑁 yang anggotanya
𝑁
𝐹𝑗,𝑘
=𝑒
𝑦𝑗 = 𝑦𝑗′ + 𝑒
, 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑀,
Kompen M yang pertama dan terakhir dari y
adalah
Suatu proses stokastik 𝑋𝑡 dengan 𝑋0 = 0
disebut proses Lévy jika memenuhi sifat-sifat
berikut:
a. Independent Increments. Untuk setiap
barisan naik pada waktu 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑛
dengan
peubah
acak
𝑋𝑡0 , 𝑋𝑡1 −
𝑋𝑡0 , … , 𝑋𝑡𝑛 − 𝑋𝑡𝑛−1 yang saling bebas.2.
b. Time-homogeneus.
Distribusi
dari
{𝑋𝑡+𝑠 − 𝑋𝑠 ; 𝑡 ≥ 0} tidak bergantung pada
𝑠.
c. Continuous Stochastically. Untuk setiap
𝜀 > 0, 𝑃[|𝑋𝑡+ℎ − 𝑋𝑡 | ≥ 𝜀] → 0, ℎ → 0.
d. Cadlag Process. Kontinu denganlimit
kiri sebagai fungsi dari 𝑡.
Proses Lévy adalah kombinasi linear drift, gerak
Brown, dan lompatan (jump). Ketika proses Lévy
𝑋𝑡 , lompatan, besarnya lompatan tidak nol. Suatu
ukuran Lévy 𝑤 dari 𝑋𝑡 didefinisikan di ℝ \ {0}
menyatakan bagaimana proses lompatan terjadi.
Pada model finite-activity kita mempunyai
∫ℝ 𝑤(𝑑𝑥) < ∞ sedangkan pada model infiniteactivity kita mempunyai ∫ℝ 𝑤(𝑑𝑥) = ∞ dan
intensitas Poisson tidak didefinisikan. Ukuran
Lévy 𝑤(𝑑𝑥) memberikan tingkat (rate)
kedatangan dari lompatan berukuran (𝑥, 𝑥 +
𝑑𝑥). Fungsi karakteristik dari proses Lévy
menggunakan rumus Lévy-Kinchine.
𝜙𝑋(𝑢) = 𝐸[𝑒 𝑖𝑢𝑋𝑡 ]
2
= exp(𝑎𝑖𝑡𝑢 − 𝜎2 𝑡𝑢2 + 𝑡∫ℝ\{0} (𝑒 𝑖𝑢𝑥 −
1 − 𝑖𝑢𝑥𝟏|𝑥|≤1 )𝑤(𝑑(𝑥))
38
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014
t
  2   2  v  K  (  2  (   iu ) 2 ) 
exp(iu  t )  2

 ,
2 
   (   iu )   K  (  2   2

= exp(𝑡𝜓𝑋(𝑢)),
(10)
Dimana
∫ℝ min(1, 𝑥 2 ) 𝑤(𝑑𝑥) < ∞,
𝑎∈
2
ℝ, 𝜎 ≥ 0. 𝑎 merupakan rate drift, 𝜎 adalah
volatilitas proses difusi dan 1 fungsi indikator.
𝜓𝑋(𝑢) merupakan karakteristik eksponen dari
K  ( z) 
𝑋𝑡 , X t  tX 1 . Semua momen dari 𝑋𝑡 dapat
diperoleh dari fungsi karakteristik pada saat
fungsi pembangkit momen ke domain kompleks.
Jadi, proses Lévy 𝑋𝑡 sepenuhnya ditentukan oleh
fungsi karakteristik 𝜙𝑋. Beberapa proses Lévy
yang secara umum digunakan dalam aplikasi
keuangan beserta fungsi karakteristik masingmasing adalah
a. Model Finite-activity
1.
Gerak Brown Geometrik, memiliki fungsi
karakteristik
exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 −
2.
1 2 2
𝜎 𝑡𝑢 )
2
Difusi lompatan Lognormal,
fungsi karakteristik
1
1 2 2
3.
Difusi lompatan eksponensial
memiliki fungsi karakteristik
ganda,
2
1−𝜂
𝑖𝑢𝑘
exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 − 12𝜎2 𝑡𝑢2 + 𝜆𝑡 (1+𝑢
− 1) )
2 𝜂2 𝑒
memiliki
1
fungsi
5. CGMY, memiliki fungsi karakteristik
exp(𝐶Γ(−𝑌)) [(𝑀 − 𝑖𝑢)𝑌 − 𝑀𝑌 +
(𝐺 + 𝑖𝑢)𝑌 − 𝐺 𝑌 ],
dengan 𝐶, 𝐺, 𝑀 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑌 > 2
5. FFT pada Perhitungan Harga Opsi Eropa
Berdasarkan ukuran risk-neutral 𝑄,
misal harga pokok saham pada waktu 𝑡 adalah
𝑆𝑡 = 𝑆0 𝑒 (−𝑟𝑡+𝑋𝑡) , 𝑡 > 0,
(11)
dimana 𝑋𝑡 adalah proses Lévy dan 𝑟 adalah suku
bunga (interest rate).
Misal 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔(𝑆0 ) + 𝑟𝑇 dan ℱ𝑉𝑇 adalah
transformasi Fourier dari fungsi payoff 𝑉𝑇 (𝑥)
dengan 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑆𝑇 . Dengan mensubstitusi
ekspektasi discount ke persamaan (4), opsi Eropa
dapat dinyatakan dengan rumus:
=𝑒
−𝑟(𝑇−𝑡)
𝑡
exp(𝑖𝑢𝜇𝑡)(1 − 𝑖𝑢𝑣𝜃 + 2𝜎 2 𝑣𝑢2 )𝑣
2. Normal Invers Gaussian, memiliki fungsi
karakteristik
exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 + 𝛿𝑡√𝛼 2 − 𝛽 2
− √𝛼 2 − (𝛽 + 𝑖𝑢)2 )
3. Generalized Hyperbolic, memiliki fungsi
karakteristik
39
( z 2 4) k

k 0 k!(v  k  1)
𝑉(𝑆𝑡 , 𝑡) = 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) 𝐸𝑄 [𝑉𝑇 (𝑥)]
b. Model Infinite-activity
1. Variansi
Gamma,
karakteristik
v 
4. Finite-momen stabil, memiliki fungsi
karakteristik
𝜋𝛼
exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 − 𝑡(𝑖𝑢𝜎)𝛼 𝑠𝑒𝑐 2 )
memiliki
exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 − 2𝜎2 𝑡𝑢2 + 𝜆𝑡 (𝑒 𝑖𝑢𝜇𝐽−2𝜎𝐽 𝑢 − 1)
 I v ( z )  I v ( z )
,
2 sin(v )
z
I v ( z)   
2
d
t
=𝑒
2𝜋
−𝑟(𝑇−𝑡)
2𝜋
𝑖𝜇+∞
𝐸𝑄 [∫𝑖𝜇−∞ 𝑒 𝑖𝑧𝑥 ℱ𝑉𝑇 (𝑧)𝑑𝑧]
𝑖𝜇+∞
∫𝑖𝜇−∞ 𝑒 𝑖𝑧𝑥 𝜙𝑋𝑇 (−𝑧)ℱ𝑉𝑇 (𝑧)𝑑𝑧,
(12)
dengan 𝜇 = 𝐼𝑚 𝑧 dan 𝜙𝑋𝑇 (𝑧) adalah fungsi
karakteristik dari 𝑋𝑇 . Rumus pada persamaan
(12) sesuai dengan persmaam (6) yang diperoleh
dengan menggunakan relasi Parseval (Parseval
relation).
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014V0202035
Jika harga saham pada saat 𝑡 = 0 adalah
sebesar 𝑆0 , maka pada saat 𝑇 harga opsi call
Eropa dengan payoff sebesar (𝑆𝑇 − 𝐾 + ) adalah
𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑖𝜇+∞ 𝑒−𝑖𝑧𝑘𝜙𝑋𝑡 (−𝑧)
− 2𝜋 ∫
𝑑𝑧
𝑧2 −𝑖𝑧
𝑖𝜇−∞
𝐶(𝑆0 , 𝑇; 𝐾) =
𝑖𝜇+∞
=−
∫
𝐾𝑒 −𝑟𝑇
2𝜋
𝑖𝜇−∞
𝑖𝜇+∞
𝑖
𝑒−𝑖𝑧𝑘 𝜙𝑋𝑡 (−𝑧) 𝑑𝑧
𝑧
kuadrat-integrabel. Pengatur (dampening factor)
harga call 𝑐(𝑘).
𝑐(𝑘) = 𝑒 𝛼𝑘 𝐶(𝑘),
untuk 𝛼 > 0. Nilai positif dari 𝛼 dilihat dari
meningktnya integrabilitas dari modifikasi nilai
call di atas sumbu-k negative. Syarat cukup untuk
kuadrat-integrabel fungsi 𝑐(𝑘) diberikan
𝑖
−∫
𝑒−𝑖𝑧𝑘 𝜙𝑋𝑡 (−𝑧)
𝑑𝑧
𝑧−𝑖 ]
[ 𝑖𝜇−∞
∞
= 𝑆0 [12+𝜋1 ∫
0
𝑅𝑒(
𝐸𝑄 [𝑆𝑇𝛼+1 ] < ∞.
Tulis 𝜓𝑇 (𝑢) sebagai transformasi Fourier
dari 𝑐(𝑘), 𝑃𝑇 (𝑠) sebagai fungsi kepadatan (df)
dari pergerakan harga saham, dimana 𝑠 = log 𝑆𝑇
dan 𝜙𝑇 (𝑢) adalah fungsi karakteristik
transformasi Fourier dari 𝑃𝑇 (𝑠), maka
𝑒−𝑖𝑢 log 𝑘 𝜙𝑋𝑡 (𝑢−𝑖)
)𝑑𝑢]
𝑖𝑢𝜙𝑋𝑡 (−𝑖)
1
− 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 [2
1
(14)
∞
∞
+ 𝜋 ∫ 𝑅𝑒 (
𝑒 −𝑖𝑢 log 𝑘 𝜙𝑋𝑡 (𝑢)
0
𝑖𝑢𝜙𝑋𝑡 (𝑖𝑢)
) 𝑑𝑢] ,
(13)
dengan 𝑘 = 𝑙𝑜𝑔𝑲𝑺 + 𝑟𝑇. Rumus harga opsi pada
persamaan (13) menyerupai rumus BlackScholes. Adanya sifat singular pada 𝑢 = 0 pada
integral fungsi mengakibatkan FFT tidak dapat
digunakan untuk menghitung integral. Jika
integral diperluas dengan ekspansi deret Taylor
di 𝑢, maka leading term pada ekspansi untuk
kedua integral adalah 𝜊(𝑢1 ) yang divergen ketika
terjadi kenaikan dari fungsi payoff yang
diskontinu di 𝑆𝑇 = 𝐾. Akibatnya, transformasi
Fourier dari fungsi payoff memiliki frekuensi
yang tinggi. Untuk memperkecil frekuensi dapat
dilakukan dengan mengalikan payoff dengan
suatu fungsi eksponensial decay.
Rumus Carr-Madan merupakan rumus
alternative dalam perhitungan harga opsi Eropa
dengan menggunakan fungsi karakteristik dari
pergerakan harga saham. Carr and Madan
(1999), mengasumsikan transformasi Fourier
dari harga Call Eropa kemudian menghitung
invers Fourier agar harga Call dapat dihitung
dengan FFT.
Misal 𝑘 = log 𝐾 dan transformasi Fourier
dari harga call 𝐶(𝑘) ada jika memenuhi fungsi
𝜓𝑇 (𝑢) = ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑘 𝑐(𝑘)𝑑𝑘
∞
𝑠
= ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑘 𝑃𝑇 (𝑠) ∫−∞[𝑒 𝑠+𝛼𝑘 −
𝑒 (1+𝛼)𝑘 ] 𝑒 𝑖𝑢𝑘 𝑑𝑘 𝑑𝑠
𝑒 −𝑟𝑡 𝜙 (𝑢−(𝛼+1)𝑖)
𝑇
= 𝛼2 −𝛼−𝑢
2 +𝑖(2𝛼+1)𝑢.
(15)
6. Algoritma Fast Fourier Transform (FFT)
Harga call 𝐶(𝑘) dapat dihitung dengan
menggunakan invers transformasi Fourier,
dimana
−𝛼𝑘
∞
𝐶(𝑘) = 𝑒 2𝜋 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑘 𝜓𝑇 (𝑢)𝑑𝑢
−𝛼𝑘
∞
= 𝑒 𝜋 ∫0 𝑒 −𝑖𝑢𝑘 𝜓𝑇 (𝑢)𝑑𝑢.
(16)
Dengan menggunakan aturan trapezoid untuk
mengintegralkan persamaan (16) diperoleh:
−𝛼𝑘
−𝑖𝑢𝑗 𝑘
𝐶(𝑘) ≈ 𝑒 𝜋 ∑𝑁
𝜓𝑇 (𝑢𝑗 )∆𝑢,
𝑗=1 𝑒
(17)
dengan 𝑢𝑗 = (𝑗 − 1)∆𝑢, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑁, dan 𝑁 =
2𝐿 .
Semi-infinite integral dengan domain [0, ∞]
pada persamaan (15) diaproksimasi melalui
integrasi domain berhingga, dimana batas atas
dari 𝑢 pada integrasi numeriknya adalah 𝑁 ∆𝑢.
40
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014
FFT merupakan algoritma numeric yang
efisien dalam menghitung transformasi Fourier
diskrit. Pada FFT kita menghitung
−𝑖
𝑦(𝑘) = ∑𝑁
𝑗=1 𝑒
2𝜋
(𝑗−1)(𝑘−1)
𝑁
1,2, … , 𝑁.
(17)
𝑥(𝑗) ,
𝑘=
Misal batas integrasi limit adalah 𝑎, dimana 𝑎 =
𝑁 ∆𝑢. Selanjutnya akan dilakukan perhitungan
harga opsi call dengan pengambilan 𝑘 bernilai
diskrit.
𝑘𝑚 = −𝑏 + (𝑚 − 1)∆𝑘,
𝑚 = 1,2, … , 𝑁,
(18)
dengan 𝑏 adalah range level log strike dari
– 𝑏 𝑘𝑒 𝑏
dimana
𝑏 = 12𝑁∆𝑘.
Dengan
mensubstitusi persamaan (18) ke persamaan
(17), diperoleh
−𝑖(𝑗−1)∆𝑢 (−𝑏+(𝑚−1)∆𝑘)
∑𝑁
𝜓 𝑇 (𝑢𝑗 )∆𝑢.
𝑗=1 𝑒
−𝛼𝑘𝑚
≈𝑒
𝜋
−𝑖∆𝑢∆𝑘(𝑗−1)(𝑚−1) 𝑒 𝑖𝑏𝑢𝑗 𝜓 (𝑢 )∆𝑢.
∑𝑁
𝑇 𝑗
𝑗=1 𝑒
(19)
2𝜋
𝑁
Ingat bahwa dan ∆𝑢∆𝑘 = , dengan
menggunakan transformasi Fourier dan aturan
Simpson dan batas ∆𝑢∆𝑘 = 2𝜋
diperoleh harga
𝑁
opsi call
𝐶(𝑘𝑚 ) =
𝑒−𝛼𝑘𝑚
𝜋
2𝜋
(20)
Dengan 𝛿𝑛 adalah fungsi Konocker’s delta
n0
1,
dimana  n  
.
0, lainnya
7. FFT dengan Variansi Gamma (VG) pada
Perhitungan Harga Opsi Call Eropa
Pada jurnal ini dilakukan metode FFT
dalam menghitung harga opsi call Eropa dengan
fungsi karaktersitik Variansi Gamma (VG).
Madan, Carr, Chang (1998) memodelkan
perhitungan harga opsi dengan VG. Proses VG
41
∞
𝑒−𝑖𝑣𝑘
𝑡 𝑑𝑣
1
[𝛼2 −𝛼−𝑣2+𝑖(2𝛼+1)𝑣](1−𝑖𝑢𝑣𝜃+ 𝜎2 𝑣𝑢2)𝑣
2
,
(21)
dengan 𝑢 = 𝑣 − (𝛼 + 1)𝑖.
Proses risk-neutral untuk harga saham
diberikan oleh:
𝑆𝑡 = 𝑆0 exp[𝑟𝑡 + 𝑋𝑡 (𝜎, 𝜃, 𝑣) + 𝜔𝑡] , 𝑡 > 0,
(22)
𝜙𝑇 (𝑢) = exp[ln(𝑆0 ) + (𝑟 + 𝜔)𝑇](1 − 𝑖𝑢𝑣𝜃 +
1 2
𝜎 𝑣𝑢2
2
𝑇
)− 𝑣 ,
(23)
𝜙𝑇 (−(𝛼 + 1)𝑖) = exp[ln(𝑆0 ) + (𝑟 + 𝜔)𝑇](1 −
𝑇
(𝛼 + 1)𝑣𝜃 + 12𝜎2 𝑣(𝛼+1)2 )− 𝑣 .
Untuk membatasi fungsi karakteristi nilai 𝛼
(damping factor) haruslah
−𝑖 (𝑗−1)(𝑚−1) 𝑖𝑏𝑢𝑗
∑𝑁
𝑒
𝜓𝑇 (𝑢𝑗 ) 𝑛3 [3 +
𝑗=1 𝑒 𝑁
(−1)𝑗 𝛿𝑗−1 ],
−𝛼𝑘
𝐶(𝑘) ≈ 𝑒 𝜋 ∫−∞
dimana 𝜔 = 1𝑣ln(1−𝜃𝑣−12𝜎 2 𝑣) dan r adalah interest
rate. Fungsi karakteristik untuk log 𝑆𝑇 adalah
𝐶(𝑘𝑚 ) ≈
𝑒−𝛼𝑘𝑚
𝜋
diperoleh dari penaksiran gerak Brown Aritmetik
dengan drift 𝜃 dan volatilitas 𝜎 pada waktu acak
yang diberikan oleh proses gamma dengan mean
1 dan variansi 𝑣. 𝑋𝑡 (𝜎, 𝜃, 𝑣) adalah proses
lompatan (jump process) dua parameter 𝜃 dan 𝑣
yang
mengikuti
model
Black-Scholes.
Perhitungan harga opsi call berdasarkan
persamaan (16) dan (15) dan dengan fungsi
karakteristik VG diperoleh harga opsi call Eropa:
2
𝛼 < √𝜎𝜃4+𝜎22𝑣 − 𝜎𝜃2 −1.
(24)
8. Hasil Simulasi Perhitungan Harga Opsi
Call
Simulasi perhitungan harga opsi call
dengan menggunakan 𝑁 = 212 , 𝑆0 = $ 100, 𝑟 =
5 %, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑 (𝑑) = 3 %, 𝑇 = 1, ∆𝑢 =
0.25, 𝑉𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 = 30 %, 𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡 (𝜃) =
5 %, 𝑣 = 0.05 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝛼 = 1.5. Hasil
perhitungan opsi call Eropa dengan beberapa
beberapa nilai strike price (K) = 77, 78, dan 79
menggunakan software Matlab Matlab 7.13.0
diperoleh $ 1.8111e+001, $ 1.7380e+001, dan
$1.6648e+001 dengan elapsed time Elapsed time
= 0.084413 detik.
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014V0202035
8. Kesimpulan
Jurnal ini membahas perhitungan harga
call Eropa dengan menggunakan teknik Fast
Fourier Transform (FFT). Fungsi karakteristik
yang digunakan dalam FFT adalah fungsi
karakteristik Variance Gamma (VG). Proses VG
diperoleh dari penaksiran gerak Brown Aritmetik
dengan drift 𝜃 dan volatilitas 𝜎 pada waktu acak
yang diberikan oleh proses gamma dengan mean
1 dan variansi 𝑣, 𝑋𝑡 (𝜎, 𝜃, 𝑣). Dari hasil
pembahasan di atas dapat dilihat langkahlangkah matematika serta simulasi teknik FFT
dengan fungsi karakteristik VG dalam
memntukan nilai opsi call Eropa. Dari hasil
simulasi terlihat bahwa dengan nilai N yaitu titik
diskrit transformasi Fourier yang besar yaitu 212
=4906 titik, waktu yang dibutuhkan untuk
menghitung nilai opsi call sangat efisien yaitu
hanya Elapsed time = 0.084413 detik. Namun,
Teknik FFT dengan menggunakan VG hanya
cocok untuk short-time maturity. Oleh karena itu
kedepannya perlu dilakukan modifikasi time
valued method.
[2] Bu, Yongqiang. 2007. Option using Lévy
Processes.
Göteborg,
Sweden:
Deaprtment of mathematical Statistics,
Chalmers University of Technology.
[3] J. C. Duan et al. 2012. Handbook of
Computational
Finance.
Berlin
Heidelberg: Springer.
[4] Carr and Madan. 1999. Option Valuation
using Fast Fourier Transformation.
Journal of Computational Finance, 2 6173.
[5] Carr, Madan and Chang. 1998. The Variance
Gamma Process and Option Pricing.
European Finance Review 2:79-105.
Netherlands:
Kluwer
Academic
Publishers.
[6] Raible, Sebastian. 2000. Lévy Processes in
Finance: Theory, Numerics and Enpirical
Fact. Freiburg: Institut für Mathematische
Stochastik
Albert-Ludwigs-Universität
Freiburg.
9. Daftar Pustaka
[1] Schmelzle, martin. 2010. Option Pricing
Using Fourier Transform: Theory and
Aplication.
42