SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL LINIER
advertisement
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL FRAKSIONAL LINIER
HOMOGEN DENGAN METODE MITTAG-LEFFLER
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida*, Nurul Huda
Program Studi Matematika Fakultas MIPA
Universitas Lambung Mangkurat
*
Email : y_yulida@unlam.ac.id
ABSTRAK
Kalkulus klasik hanya mempelajari turunan sekaligus persamaan diferensial berorde bilangan
bulat, sedangkan untuk turunan dan persamaan diferensial berorde tak bulat tidak tercakup di
dalamnya. Sehingga muncullah konsep kalkulus fraksional yang mempelajari integral dan turunan
berorde tak bulat yang disingkat diferintegral termasuk persamaan diferensial berorde fraksional
(PDF). Pada paper ini disajikan metode untuk memperoleh solusi PDF linier homogen yang
dibangun dalam fungsi Mittag-Leffler yang berbentuk deret
∞
π₯π₯ ππππ
πΌπΌ
π¦π¦(π₯π₯) = πΈπΈπΌπΌ (ππππ ) = οΏ½ ππ ππ
Γ(ππππ + 1)
1 1
ππ=0
Deret ini konvergen untuk π₯π₯ pada οΏ½− , οΏ½. Pencarian turunan dari π¦π¦(π₯π₯), dilakukan dengan
ππ ππ
menurunkan setiap suku dari π¦π¦(π₯π₯) menggunakan definisi turunan Caputo dilanjutkan dengan
menentukan koefisien ππ ππ untuk memperoleh solusi PDF tersebut.
Kata Kunci: Kalkulus Fraksional, Fungsi Mittag-Leffler dan Persamaan Diferensial Fraksional
1. PENDAHULUAN
Kalkulus fraksional adalah bidang matematika analisis yang membahas
teori serta aplikasi integral dan turunan berorde sebarang. Sejarah kalkulus
fraksional bermula dari pertanyaan G.W Leibniz kepada L’Hôpital pada tahun
1695 tentang makna dari “ ππππ π¦π¦⁄ππππ ππ jika ππ = 1⁄2 , bagaimanakah jika ππ
fraction/pecahan”. Sejak saat itu para matematikawan terus mengembangkan topik
tersebut seperti, L. Euler, P.S Laplace, J.B.J Fourier, N.H. Abel, J. Liouville, B.
Riemann, A.K. Grunwald, A.V. Letnikov [7]. Perkembangan kalkulus fraksional
membawa kepada pengaplikasiannya berupa persamaan diferensial fraksional
(PDF) yaitu suatu persamaan yang turunannya memuat orde pecahan.
PDF telah diaplikasikan dalam kasus aliran fluida, kekentalan, teori kontrol
untuk sistem dinamik, jaringan listrik, peluang, statistik, dan lain sebagainya [6].
Berbagai metode telah dikembangkan untuk mendapatkan solusi PDF sehingga
memberikan kemudahan dalam pengaplikasian, diantaranya adalah metode iterasi,
teknik transformasi Fourier, teknik transformasi Laplace, metode Dekomposisi
21
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30
Adomian, metode iterasi variasi dan metode Peturbasi Homotopy. Salah satu
metode baru dikembangkan oleh Rida dan Arafa [11] yaitu metode yang
menggunakan fungsi Mittag-Leffler dengan pendefinisian turunannya
menggunakan pendekatan Caputo.
Pada paper ini membahas kembali tulisan Rida dan Arafa [11], pada bagian
pendahuluan membahas tentang pengenalan singkat mengenai kalkulus fraksional
juga latar belakang dalam mengangkat topik yang diambil. Pada bagian kedua,
menyajikan materi-materi yang digunakan dalam hasil. Bagian ketiga,
menggambarkan langkah-langkah untuk mendapatkan hasil. Bagian keempat
memberikan hasil dan pembahasan. Bagian kelima, menyajikan kesimpulan serta
saran.
2.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Fungsi-Fungsi Khusus Kalkulus Fraksional
Berikut disajikan fungsi-fungsi yang berperan penting dalam kalkulus
fraksional yaitu fungsi eksponensial, fungsi gamma dan fungsi Mittag-Leffler :
Definisi 1 [11]
Huruf ππ menyatakan bilangan real positif unik sedemikian sehingga ππππ ππ = 1.
Fungsi eksponensial dapat dinyatakan ke dalam deret, sebagai berikut :
π§π§ ππ
ππ π§π§ = ∑∞
ππ=0 Γ(ππ+1),
π§π§ ∈ β
(1)
Definisi 2 [12]
Misalkan ππ adalah bilangan bulat positif. Besaran ππ faktorial (simbol ππ!)
didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga ππ.
ππ! = 1.2.3 … (ππ − 1)ππ
Definisi 3 [2]
Diberikan fungsi
π€π€ βΆ β βΆ β. Fungsi gamma pada bilangan riil yang
dinyatakan oleh π€π€(πΌπΌ) didefinisikan sebagai :
∞
π€π€(πΌπΌ) = ∫0 ππ −π‘π‘ π‘π‘ πΌπΌ−1 ππππ ,
Definisi 4 [1]
Fungsi Gamma adalah :
πΌπΌ > 0
(2)
1.2.3. … . ππ
ππ π₯π₯
ππ→∞ π₯π₯(π₯π₯ + 1)(π₯π₯ + 2) … (π₯π₯ + ππ − 1)(π₯π₯ + ππ)
dimana π₯π₯ bilangan riil atau kompleks, dan π₯π₯ ∉ {0} ∪ {β€− }.
Dengan mensubstitusi π€π€(π₯π₯) dengan π₯π₯ = π₯π₯ + 1, diperoleh persamaan berikut :
Γ(π₯π₯ + 1) = π₯π₯. π€π€(π₯π₯)
π€π€(π₯π₯) = ππππππ
Bentuk fungsi Mittag-Leffler satu parameter πΌπΌ yaitu :
π§π§ ππ
+
πΈπΈπΌπΌ (π§π§) = ∑∞
ππ=0 Γ(πΌπΌπΌπΌ+1), π§π§ ∈ β, πΌπΌ ∈ β .
22
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional
Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler
2.2
Integral dan Turunan Fraksional
Berikut bentuk dari integral lipat sebarang πΌπΌ, dengan πΌπΌ ∈ β+ [6]:
πΌπΌπππΌπΌ ππ(π‘π‘) =
π‘π‘
1
∫ (π‘π‘
Γ(πΌπΌ) ππ
− π₯π₯)πΌπΌ−1 ππ(π₯π₯)ππππ
Definisi 5 [5]
Diberikan α ∈ (ππ − 1, ππ) dengan πΌπΌ ∈ β+ , ππ ∈ β dan ππ(π‘π‘) merupakan fungsi
yang terturunkan sampai ke-ππ. Turunan fraksional dari ππ(π‘π‘) dalam notasi
Caputo, didefinisikan sebagai:
ππ πΌπΌ
πΆπΆ πΌπΌ
π·π·ππ=0 ππ(π‘π‘) = πΌπΌ ππ(π‘π‘)
ππππ
π‘π‘
1
= π€π€(ππ−πΌπΌ) ∫0 (π‘π‘ − π₯π₯)ππ−πΌπΌ−1 ππ (ππ) (π₯π₯) ππππ
ππππ
untuk ππ − 1 < πΌπΌ ≤ ππ, dengan ππ (ππ) (π₯π₯) = ππππ ππ ππ(π₯π₯) merupakan turunan ke- k.
Turunan fungsi konstan, berdasarkan Definisi 5 bernilai nol, seperti berikut :
πΆπΆ πΌπΌ
π·π·ππ=0 ππ(π‘π‘) = 0 , πΌπΌ ∈ β+ dan ππ(π‘π‘) konstan
(3)
Definisi 6 [3]
Turunan fraksional dari ππ(π‘π‘), dengan f(t) adalah fungsi monomial dituliskan
sebagai:
π·π·πΌπΌ ππ(π‘π‘) = π·π·πΌπΌ π¦π¦ ππ
=
Γ(ππ+1)
Γ(ππ+1−πΌπΌ)
π‘π‘ ππ−πΌπΌ
untuk ππ − 1 < πΌπΌ < ππ, ππ > ππ − 1, πΌπΌ ∈ β+
2.2 Deret Pangkat
Definisi 7 [13]
Jika terdapat suatu deret yang berbentuk
∑∞
ππ=1 ππππ = ππ1 + ππ2 + ππ3 + β―
Misalkan π π ππ melambangkan jumlah parsial ke−ππ βΆ
π π ππ = ∑ππππ=1 ππππ = ππ1 + ππ2 + ππ3 + β― + ππππ
Jika barisan {π π ππ } konvergen dan ππππππππ→∞ π π ππ = π π ada, sebagai suatu bilangan
real, maka deret ∑ ππππ disebut konvergen dan dituliskan sebagai
ππ1 + ππ2 + ππ3 + β― + ππππ + β― = π π atau ∑∞
ππ=1 ππππ = π π
Bilangan π π ini disebut jumlah dari deretnya. Jika tidak demikian, maka deret
tersebut dikatakan divergen.
Kemudian akan disajikan tentang deret pangkat yang berbentuk :
ππ
2
ππ
∑∞
ππ=0 ππππ π₯π₯ = ππ0 + ππ1 π₯π₯ + ππ2 π₯π₯ + β― + ππππ π₯π₯ + β―
dimana π₯π₯ adalah sebuah variabel dan ππππ adalah konstanta yang disebut koefisien
deret.
23
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30
Teorema 8 [10]
Andaikan ∑ ππππ sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan
|ππππ+1 |
lim
= πΏπΏ
ππ→∞ |ππππ |
a. Jika πΏπΏ < 1, maka ∑∞
ππ=1 ππππ konvergen mutlak (jadi konvergen)
∞
b. Jika πΏπΏ > 1, maka ∑ππ=1 ππππ divergen
c. Jika πΏπΏ = 1, pengujian ini tidak dapat memberikan kepastian.
2.3 Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen
Persamaan diferensial fraksional adalah suatu persamaan yang
mengandung turunan fraksional. Secara umum persamaan diferensial fraksional
linier homogen dengan orde ππππ dituliskan sebagai :
π·π·ππππ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄1 π·π·(ππ−1)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄2 π·π·(ππ−2)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + β― + π΄π΄ππ π¦π¦(π₯π₯) = 0
(4)
ππππ
+
dimana π·π· adalah turunan orde tertinggi fraksional dengan πΌπΌ ∈ β , ππ ∈ β dan
π₯π₯ ≥ 0, dimana π΄π΄ππ adalah koefisien konstan dan π¦π¦(π₯π₯) adalah fungsi yang kontinu
dan terturunkan. [7]
3.
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun
prosedur pada penelitian ini adalah mempelajari materi yang berhubungan dengan
kalkulus fraksional, kekonvergenan dan turunan fungsi Mittag-Leffler serta
tentang persamaan diferensial fraksional linier homogen. Selanjutnya menjelaskan
kekonvergenan dan turunan fungsi Mittag-Leffler. Sedangkan untuk memperoleh
solusi PDF dengan menuliskan fungsi π¦π¦(π₯π₯) dalam bentuk fungsi Mittag-Leffler,
menurunkan fungsi Mittag-Leffler sesuai orde yang termuat dalam PDF,
mensubstitusi fungsi Mittag-Leffler dan turunannya pada PDF kemudian
menentukan koefisien untuk memperoleh solusi umum.
4.
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Kekonvergenan dan Turunan Fungsi Mittag-Leffler
Fungsi Mittag-Leffler πΈπΈπΌπΌ (π§π§) dengan πΌπΌ ∈ β+ didefinisikan dalam bentuk
deret yang berlaku pada seluruh bidang kompleks berikut :
π§π§ ππ
π§π§
πΈπΈπΌπΌ (π§π§) = ∑∞
ππ=0 Γ(ππππ+1) = ππ , π§π§ ∈ β.
(5)
Fungsi Mittag-Leffler pada persamaan (5) didefinisikan oleh peubah π§π§
dalam fungsi kompleks. Namun dalam penerapannya akan digunakan fungsi
Mittag-Leffler dengan peubah dalam fungsi real. Bilangan real, β, dapat
dinyatakan sebagai bagian dari himpunan β dengan menyatakan setiap bilangan
real sebagai bilangan kompleks. Diberikan bilangan kompleks π§π§ = π₯π₯ + ππππ,
sedangkan konjugate dari bilangan kompleks π§π§, dituliskan sebagai π§π§Μ
= π₯π₯ − ππππ .
24
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional
Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler
Modulus yang menyatakan panjang vektor (π₯π₯, π¦π¦) dari π§π§ dan konjugatenya ,
masing-masing diberikan oleh :
|π§π§| = οΏ½π₯π₯ 2 + π¦π¦ 2
(6)
|π§π§Μ
| = οΏ½π₯π₯ 2 + (−π¦π¦)2 = οΏ½π₯π₯ 2 + π¦π¦ 2
(7)
Dari persamaan (6) dan (7) memperlihatkan salah satu sifat modulus yaitu π§π§ = π§π§Μ
.
Secara khusus, jika π§π§ = π₯π₯ + ππππ adalah bilangan real (π¦π¦ = 0) maka
|π§π§| = √π₯π₯ 2 = π₯π₯
(8)
Persamaan (8) merupakan Definisi dari nilai mutlak suatu bilangan real π₯π₯. Ini
menunjukkan bahwa modulus dari suatu bilangan kompleks merupakan perluasan
dari konsep nilai mutlak pada bilangan real. Sehingga fungsi Mittag-Leffler πΈπΈπΌπΌ (π§π§)
dengan fungsi π§π§ dalam persamaan (5) akan berbentuk :
π₯π₯ ππ
π₯π₯
+
πΈπΈπΌπΌ (π₯π₯) = ∑∞
ππ=0 Γ(ππππ+1) = ππ , π₯π₯ ∈ β, πΌπΌ ∈ β
Fungsi Mittag-Leffler πΈπΈπΌπΌ (π₯π₯) berperan penting dalam menyelesaikan
persamaan diferensial orde fraksional. Fungsi Mittag-Leffler didefinisikan untuk
fungsi π¦π¦(π₯π₯), berikut :
π₯π₯ ππππ
ππ
π¦π¦(π₯π₯) = πΈπΈπΌπΌ (ππππ πΌπΌ ) = ∑∞
ππ=0 ππ Γ(ππππ+1)
(9)
dengan ππ adalah konstanta dan πΌπΌ ∈ β+ . [11]
4.1.1 Kekonvergenan Fungsi Mittag-Leffler
Berikut akan diselidiki kekonvergenan untuk Deret pada persamaan (9),
berdasarkan Teorema [8]
|ππππ+1 |
lim
= πΏπΏ
ππ→∞ |ππππ |
ππ ππ π₯π₯ ππππ
ππ ππ+1 π₯π₯ (ππ+1)πΌπΌ
Misalkan ππππ = Γ(ππππ+1) maka ππππ+1 = Γ((ππ+1)πΌπΌ+1)
maka diperoleh :
|ππππ+1 |
= lim
ππ→∞ |ππππ |
ππ→∞
lim
= lim
π₯π₯ (ππ+1)πΌπΌ
οΏ½ππ ππ+1 Γ((ππ+1)πΌπΌ+1)οΏ½
οΏ½ππ ππ
π₯π₯ ππππ
οΏ½
Γ(ππππ+1)
οΏ½ππ ππ+1 .π₯π₯ (ππ+1)πΌπΌ Γ(ππππ+1)οΏ½
ππ→∞ οΏ½ππ ππ .π₯π₯ ππππ Γ((ππ+1)πΌπΌ+1)οΏ½
|ππ.π₯π₯ πΌπΌ Γ(ππππ+1)|
= lim
ππ→∞ |Γ((ππ+1)πΌπΌ+1)|
|ππππ Γ(ππππ)|
ππ→∞ |(ππ + 1)πΌπΌ Γ((ππ + 1)πΌπΌ)|
Bentuk tersebut memiliki nilai ππ dengan pangkat tertinggi satu, meskipun rumus
= |ππ. π₯π₯ πΌπΌ | lim
ππ
rekursif dari fungsi gamma dilanjutkan, sehingga dibagi dengan ππ, diperoleh :
25
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30
= |ππ. π₯π₯
= |ππ. π₯π₯
πΌπΌ |
lim |ππππ Γ(ππππ)|
ππ
lim |(ππ + 1)πΌπΌ Γ((ππ + 1)πΌπΌ)| ππ
ππ→∞
ππ→∞
πΌπΌ |.1
1
Jadi deret (9) konvergen untuk |π₯π₯| < ππ
1
:
1
dan divergen untuk |π₯π₯| > ππ
dengan jari-jari kekonvergenannya yaitu π
π
= οΏ½πποΏ½ sehingga mempunyai selang
1 1
kekonvergenan (− ππ , ππ).
4.1.2 Turunan Fungsi Mittag-Leffler
Berikut diberikan turunan deret (9), π¦π¦(π₯π₯) dengan orde πΌπΌ ∈ β+ :
∞
πΌπΌ
πΌπΌ
π·π· π¦π¦(π₯π₯) = π·π· οΏ½ ππ ππ
ππ=0
= π·π·πΌπΌ (ππ0
ππ4
π₯π₯ 0.πΌπΌ
Γ(0.πΌπΌ+1)
π₯π₯ 4.πΌπΌ
Γ(4.πΌπΌ+1)
= π·π·πΌπΌ ππ 0
1
π₯π₯ ππππ
Γ(ππππ + 1)
+ ππ1
+ ππ5
π₯π₯ 1.πΌπΌ
Γ(1.πΌπΌ+1)
π₯π₯ 5.πΌπΌ
Γ(5.πΌπΌ+1)
+ ππ2
π₯π₯ 2.πΌπΌ
Γ(2.πΌπΌ+1)
+ β―)
+ ππ3
π₯π₯ 3.πΌπΌ
Γ(3.πΌπΌ+1)
+
π₯π₯ 0.πΌπΌ
π₯π₯1.πΌπΌ
π₯π₯ 2.πΌπΌ
+ π·π·πΌπΌ ππ1
+ π·π·πΌπΌ ππ 2
Γ(0. πΌπΌ + 1)
Γ(1. πΌπΌ + 1)
Γ(2. πΌπΌ + 1)
3.πΌπΌ
4.πΌπΌ
π₯π₯
π₯π₯
+ π·π·πΌπΌ ππ 3
+ π·π·πΌπΌ ππ 4
Γ(3. πΌπΌ + 1)
Γ(4. πΌπΌ + 1)
5.πΌπΌ
π₯π₯
+ π·π·πΌπΌ ππ 5
+β―
Γ(5. πΌπΌ + 1)
ππ
ππ 2
ππ
= Γ(1) π·π·πΌπΌ 1 + Γ(πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ πΌπΌ + Γ(2πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ 2πΌπΌ + Γ(3πΌπΌ+1) π·π·πΌπΌ π₯π₯ 3πΌπΌ +
ππ 4
π·π·πΌπΌ π₯π₯ 4πΌπΌ +
Γ(4πΌπΌ+1)
ππ 5
Γ(5πΌπΌ+1)
π·π·πΌπΌ π₯π₯ 5πΌπΌ + β―
(10)
Untuk turunan orde fraksional dari fungsi konstan, berdasarkan persamaan (3)
maka untuk suku ke-1 dari persamaan (10) diperoleh :
π·π·πΌπΌ 1 = 0
(11)
πΌπΌ
Sedangkan turunan untuk fungsi berbentuk π¦π¦(π₯π₯) = π₯π₯ , berdasarkan Definisi 6
maka :
Γ(πΌπΌ+1)
π·π·πΌπΌ π₯π₯ πΌπΌ = Γ(πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ πΌπΌ−πΌπΌ =
Γ(2πΌπΌ+1)
Γ(πΌπΌ+1)
Γ(1)
π·π·πΌπΌ π₯π₯ 2πΌπΌ = Γ(2πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ 2πΌπΌ−πΌπΌ =
Γ(3πΌπΌ+1)
π₯π₯ 0 = Γ(πΌπΌ + 1)1
Γ(2πΌπΌ+1)
Γ(πΌπΌ+1)
Γ(3πΌπΌ+1)
π₯π₯ πΌπΌ
π·π·πΌπΌ π₯π₯ 3πΌπΌ = Γ(3πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ 3πΌπΌ−πΌπΌ = Γ(2πΌπΌ+1) π₯π₯ 2πΌπΌ
26
(12)
(13)
(14)
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional
Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler
Γ(4πΌπΌ+1)
Γ(4πΌπΌ+1)
π·π·πΌπΌ π₯π₯ 4πΌπΌ = Γ(4πΌπΌ+1−πΌπΌ) π₯π₯ 4πΌπΌ−πΌπΌ = Γ(3πΌπΌ+1) π₯π₯ 3πΌπΌ
π·π· πΌπΌ π₯π₯ 5πΌπΌ =
.
.
.
Γ(5πΌπΌ+1)
Γ(5πΌπΌ+1−πΌπΌ)
π₯π₯ 5πΌπΌ−πΌπΌ =
Γ(5πΌπΌ+1)
Γ(4πΌπΌ+1)
π₯π₯ 4πΌπΌ
(15)
(16)
dst
Persamaan (11) dan (12) - (16) disubstitusi ke persamaan (10), diperoleh :
ππ
ππ 2
Γ(2πΌπΌ + 1) πΌπΌ
π·π·πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) = 0 +
Γ(πΌπΌ + 1) +
π₯π₯
Γ(πΌπΌ + 1)
Γ(2πΌπΌ + 1) Γ(πΌπΌ + 1)
ππ 3
Γ(3πΌπΌ + 1) 2πΌπΌ
ππ 4
Γ(4πΌπΌ + 1) 3πΌπΌ
+
π₯π₯ +
π₯π₯
Γ(3πΌπΌ + 1) Γ(2πΌπΌ + 1)
Γ(4πΌπΌ + 1) Γ(3πΌπΌ + 1)
ππ 5
Γ(5πΌπΌ + 1) 4πΌπΌ
+
π₯π₯ + β―
Γ(5πΌπΌ + 1) Γ(4πΌπΌ + 1)
ππ 2
ππ 3
ππ 4
ππ 5
πΌπΌ
2πΌπΌ
3πΌπΌ
π₯π₯ +
π₯π₯ +
π₯π₯ +
π₯π₯ 4πΌπΌ + β―
= ππ +
Γ(πΌπΌ + 1)
Γ(2πΌπΌ + 1)
Γ(3πΌπΌ + 1)
Γ(4πΌπΌ + 1)
ππ
= ∑∞
ππ=1 ππ
π₯π₯ (ππ−1)πΌπΌ
(17)
Γ((ππ−1)πΌπΌ+1)
Turunan π¦π¦(π₯π₯) jika diperumum dengan orde ππππ, dinyatakan sebagai :
πΌπΌ
∞
π·π· π¦π¦(π₯π₯) = οΏ½ ππ ππ
ππ=1
∞
π₯π₯ (ππ−1)πΌπΌ
Γ((ππ − 1)πΌπΌ + 1)
π·π·2πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) = οΏ½ ππ ππ
ππ=3
∞
π₯π₯ (ππ−2)πΌπΌ
Γ((ππ − 2)πΌπΌ + 1)
π₯π₯ (ππ−3)πΌπΌ
π·π· π¦π¦(π₯π₯) = οΏ½ ππ
Γ((ππ − 3)πΌπΌ + 1)
3πΌπΌ
ππ=3
ο
π·π·
π·π·
(ππ−1)πΌπΌ
ππππ
ππ
∞
π¦π¦(π₯π₯) = οΏ½ ππ ππ
π¦π¦(π₯π₯) =
π₯π₯ (ππ−(ππ−1))πΌπΌ
Γ((ππ − (ππ − 1))πΌπΌ + 1)
ππ=ππ−1
π₯π₯ (ππ−ππ)πΌπΌ
∞
∑ππ=ππ ππ ππ
Γ((ππ−ππ)πΌπΌ+1)
4.2
(18)
Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Linier Homogen
Diberikan secara umum persamaan diferensial fraksional linier homogen
dengan orde ππππ dituliskan sebagai berikut :
π·π·ππππ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄1 π·π·(ππ−1)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄2 π·π· (ππ−2)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + β― + π΄π΄ππ π¦π¦(π₯π₯) = 0
(19)
27
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30
Solusi untuk persamaan (19) dengan asumsi bahwa fungsi π¦π¦(π₯π₯) memenuhi
Definisi Caputo dan dapat dibentuk ke dalam persamaan (9), dapat diselesaikan
dengan menentukan nilai-nilai koefisien pada persamaan (9). Secara umum,
langkah-langkahnya sebagai berikut :
1. Menuliskan fungsi π¦π¦(π₯π₯) dalam bentuk fungsi Mittag-Leffer, seperti pada
persamaan (9)
2. Menurunkan fungsi pada persamaan (19) sesuai orde dari tiap suku, seperti
pada persamaan (18) kemudian disubstitusi ke persamaan (19) kembali.
Sehingga diperoleh :
ππ
∑∞
ππ=ππ ππ
π₯π₯ (ππ−ππ)πΌπΌ
π₯π₯ (ππ−(ππ−1))πΌπΌ
ππ
+ π΄π΄1 ∑∞
ππ=ππ−1 ππ Γ((ππ−(ππ−1))πΌπΌ+1) +
Γ((ππ−ππ)πΌπΌ+1)
π₯π₯ (ππ−(ππ−2))πΌπΌ
π₯π₯ (ππ−1)πΌπΌ
∞
ππ
ππ
π΄π΄2 ∑∞
ππ=0 ππ Γ((ππ−(ππ−2))πΌπΌ+1) + … + π΄π΄ππ−1 ∑ππ=1 ππ Γ((ππ−1)πΌπΌ+1) +
π₯π₯ ππππ
ππ
π΄π΄ππ ∑∞
ππ=0 ππ Γ(ππππ+1) = 0
Pada persamaan di atas, batas bawah dari ∑, berbeda sehingga batas
bawahnya akan disamadengankan nol, sehingga menjadi :
∞
οΏ½ ππ
ππ=0
ππ+ππ
π₯π₯ (ππ+ππ−ππ)πΌπΌ
Γ((ππ + ππ − ππ)πΌπΌ + 1)
∞
+ π΄π΄1 οΏ½ ππ
ππ=0
∞
ππ+ππ−1
+ π΄π΄2 οΏ½ ππ ππ+ππ−2
ππ=0
∞
+ π΄π΄ππ−1 οΏ½ ππ
∞
=0
∞
π₯π₯ (ππ+ππ−2−(ππ−2))πΌπΌ
+β―
Γ((ππ + ππ − 2) − (ππ − 2))πΌπΌ + 1)
∞
π₯π₯ (ππ+1−1)πΌπΌ
xkα
+ π΄π΄ππ οΏ½ ππ ππ
Γ((ππ + 1 − 1)πΌπΌ + 1)
Γ(kα + 1)
∞
k=0
π₯π₯
π₯π₯ ππππ
π₯π₯ ππππ
ππ+ππ
ππ+ππ−1
ππ+ππ−2
⇔ οΏ½ ππ
+ π΄π΄1 οΏ½ ππ
+ π΄π΄2 οΏ½ ππ
Γ(ππππ + 1)
Γ(ππππ + 1)
Γ(ππππ + 1)
ππ=0
⇔
3.
ππ+ππ
∑∞
k=0[ππ
ππππ
ππ=0
ππ+1
π₯π₯ (ππ+ππ−1−(ππ−1))πΌπΌ
Γ((ππ + ππ − 1 − (ππ − 1))πΌπΌ + 1)
ππ=0
∞
+ β― + π΄π΄ππ−1 οΏ½ ππ ππ+1
+ π΄π΄1 ππ
ππ+ππ−1
ππ=0
+ π΄π΄2 ππ
∞
ππππ
ππ=0
π₯π₯
xkα
+ π΄π΄ππ οΏ½ ππ ππ
=0
Γ(ππππ + 1)
Γ(kα + 1)
ππ+ππ−2
k=0
π₯π₯ππππ
+ β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ ] π€π€(ππππ+1) = 0
ππ+ππ
ππ+ππ−1
Untuk menentukan nilai-nilai koefisien ππ
+ ππ
+ ππ
ππ+1
ππ
ππ
+ ππ dari persamaan (20), misal :
ππ+ππ
ππ
+ π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ = ππ
maka dapat ditulis:
28
ππ+ππ−2
(20)
+ β―+
Helfa Oktafia Afisha, Yuni Yulida, Nurul Huda - Solusi Persamaan Diferensial Fraksional
Linier Homogen dengan Metode Mittag-Leffler
∞
π₯π₯ ππππ
οΏ½ ππ
=0
π€π€(ππππ + 1)
k=0
π₯π₯ ππππ
Selanjutnya, karena nilai π€π€(ππππ+1) ≠ 0, akibatnya ππ = 0, sehingga
4.
ππ ππ+ππ + π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ = 0
βΊ ππ ππ+ππ = −(π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ )
5.
KESIMPULAN
(21)
Mensubstitusi persamaan (21) ke persamaan (9) untuk memperoleh solusi
umum persamaan (19) dalam bentuk deret.
π₯π₯ ππππ
ππ
Fungsi Mittag-Leffler yang berbentuk deret π¦π¦(π₯π₯) = ∑∞
ππ=0 ππ Γ(ππππ+1) dengan ππ
adalah konstanta dan πΌπΌ ∈ β+ merupakan deret yang konvergen pada selang
1 1
οΏ½− ππ , πποΏ½ sehingga turunan Fungsi Mittag-Leffler dengan orde ππππ diberikan oleh :
ππ
π·π·ππππ π¦π¦(π₯π₯) = ∑∞
ππ=ππ ππ
π₯π₯ (ππ−ππ)πΌπΌ
dengan ππ ∈ β€+ , πΌπΌ ∈ β+ . Solusi PDF linier
Γ((ππ−ππ)πΌπΌ+1)
ππππ
π·π· π¦π¦(π₯π₯) + π΄π΄1 π·π·(ππ−1)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯)
+ π΄π΄2 π·π·(ππ−2)πΌπΌ π¦π¦(π₯π₯) + β― + π΄π΄ππ π¦π¦(π₯π₯) = 0
homogen dari
dinyatakan berbentuk fungsi Mittag-Leffler. Pada metode Mittag-Leffler ini,
koefisien ππ ππ dapat ditentukan melalui :
∞
οΏ½(ππ
k=0
ππ+ππ
+ π΄π΄1 ππ
ππ+ππ−1
+ π΄π΄2 ππ
ππ+ππ−2
+ β― + π΄π΄ππ−1 ππ
ππ+1
π₯π₯ ππππ
+ π΄π΄ππ ππ )
=0
π€π€(ππππ + 1)
ππ
dengan ππ ππ+ππ + π΄π΄1 ππ ππ+ππ−1 + π΄π΄2 ππ ππ+ππ−2 + β― + π΄π΄ππ−1 ππ ππ+1 + π΄π΄ππ ππ ππ = 0
6. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada kedua pembimbing yang telah membantu
dalam menyelesaikan tulisan ini.
7. DAFTAR PUSTAKA
[1]
Arfken, G.B. dan Hans J.W. 2005. Mathematical Methods for Physicist.
Elsevier Academic Press, United States of America.
[2] Boas, M.L. 2006. Mathematical Methods in the Physical Sciences. DePaul
University, United States of America.
[3] Bologna, Mauro. 2007. Short Introduction to Fractional Calculus, Arica,
Chile.
[4] Gorenflo, R. and Mainardi, F. 1997. Fractional calculus: integral and
differential equations of fractional orde,” in Fractals Fractional Calculus in
Continuum Mechanics”, A. Carpinteri and F. Mainar, Eds., pp.223–276,
Springer, New York, NY, USA.
29
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Vol.10 No.1 (2016) Hal. 21-30
[5] Kaczorek, T. 2008. Fractional Positive Continuous-Time Linier Systems
And Their Reachability. Int J. Appl. Math. Comput. Sci., 2008, Vol. 18, No.
2. 223-228. DOI: 10.2478/v10006-008-0020-0.
[6] Kisela, T. 2008. Fractional Differential Equations and Their Applications.
Tesis. Program diploma, BRNO University of Technology.
[7] Miller, K. S and Ross, B. 1993.An Introduction to the Fractional Calculus
and Fractional Differential Equations,JohnWiley & Sons, New York, NY,
USA.
[8] Podlubny, I. 1999. Fractional Differential Equations, Academic Press, New
York, NY, USA.
[9] Purcel, E. J, et al. 2008. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Edisi
Kelima. Erlangga, Jakarta.
[10] Purcel, E. J, & Vanberg, D. 1987. Kalkulus Jilid 1. Edisi Kedelapan.
Erlangga, Jakarta.
[11] Rida, S.Z & Arafa, A. A. M., 2011. New Method for Solving Linear
Fractional Differential Equations,”International Journal of Differential
Equations, Volume 2011, Article ID 814132, 8 pages.
[12] Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.
ANDI, Yogyakarta.
[13] Stewart, James. 2010. Kalkulus. Edisi Kelima. (Terjemahan Chriswan
Sungkono). Salemba Teknika, Jakarta.
30
